Encontre o centroide do sólido. O sólido limitado pela superfície z = y^2 e os planos x = 0 x=1 e z=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o centroide de um sólido. O que significa isso? Basicamente, o centroide é como o “centro de massa” do sólido, onde se pode imaginar que toda a massa está concentrada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais múltiplas, para encontrar as coordenadas , e do centroide. Precisamos entender os limites do sólido dado pelas superfícies e os planos , e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. O plano e definem as fronteiras no eixo . A superfície é uma parábola que abre para cima no eixo , e o plano corta essa parábola. Então, varia de a porque quando , .

Passo 3

Agora, para encontrar o centroide, precisamos calcular o volume do sólido e as integrais de , e sobre esse volume. As fórmulas para as coordenadas do centroide são:
Onde é o volume do sólido.

Passo 4

Vamos calcular o volume primeiro. Os limites de integração são:
  • vai de 0 a 1.
  • Para cada , vai de a 1.
  • E vai de a .
Então, a integral para o volume fica:
Simplificando, como :

Passo 5

Vamos resolver a integral para :
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Passo 6

Agora que temos o volume, vamos calcular . A coordenação é:
Resolvendo a integral:
Como a integral de é a mesma que calculamos para :

Passo 7

Para , observamos que o sólido é simétrico em relação ao eixo . Isso significa que para cada ponto positivo em , existe um ponto negativo correspondente. Portanto, a coordenada é zero:

Passo 8

Por fim, vamos calcular :
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integraremos em relação a :
Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O centroide do sólido é .

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