Encontre o centroide do sólido. O sólido limitado pela superfície
e os planos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o centroide de um sólido. O que significa isso? Basicamente, o centroide é como o “centro de massa” do sólido, onde se pode imaginar que toda a massa está concentrada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais múltiplas, para encontrar as coordenadas
,
e
do centroide. Precisamos entender os limites do sólido dado pelas superfícies
e os planos
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. O plano
e
definem as fronteiras no eixo
. A superfície
é uma parábola que abre para cima no eixo
, e o plano
corta essa parábola. Então,
varia de
a
porque quando
,
.
Passo 3
Agora, para encontrar o centroide, precisamos calcular o volume do sólido e as integrais de
,
e
sobre esse volume. As fórmulas para as coordenadas do centroide são:
Onde
é o volume do sólido.
Passo 4
Vamos calcular o volume
primeiro. Os limites de integração são:
-
vai de 0 a 1. - Para cada
, vai de a 1. - E
vai de a .
Então, a integral para o volume fica:
Simplificando, como
:
Passo 5
Vamos resolver a integral para
:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora que temos o volume, vamos calcular
. A coordenação
é:
Resolvendo a integral:
Como a integral de
é a mesma que calculamos para
:
Passo 7
Para
, observamos que o sólido é simétrico em relação ao eixo
. Isso significa que para cada ponto positivo em
, existe um ponto negativo correspondente. Portanto, a coordenada
é zero:
Passo 8
Por fim, vamos calcular
:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integraremos em relação a
:
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
O centroide do sólido é
.