Encontre o centroide do sólido. O sólido no primeiro octante limitado pela superfície z = x y e os planos z = 0, x = 2 e y = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centroide de um sólido que está no primeiro octante, limitado pela superfície e pelos planos , e . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais tripe, para determinar as coordenadas do centroide .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o centroide. O centroide de um sólido é um ponto que representa o “centro de massa” do sólido, assumindo que a densidade é uniforme. Para encontrar as coordenadas , e , precisamos calcular:
onde é o volume do sólido.

Passo 3

Vamos começar calculando o volume do sólido. Para isso, precisamos estabelecer os limites de integração. Como o sólido está no primeiro octante e limitado por , , e , os limites são:
Então, o volume será:
Resolvendo a integral interna em :
Agora, integraremos em :
Então, o volume .

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Integrando em :
Integrando em :
De forma similar, para :
Seguindo os mesmos passos:
Integrando em :
Finalmente, para :
Integrando em :
Simplificando:

Resposta

O centroide do sólido é .

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