Encontre o centroide do sólido. O sólido no primeiro octante limitado pela superfície
os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centroide de um sólido que está no primeiro octante, limitado pela superfície
e pelos planos
,
e
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais tripe, para determinar as coordenadas do centroide
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o centroide. O centroide de um sólido é um ponto que representa o “centro de massa” do sólido, assumindo que a densidade é uniforme. Para encontrar as coordenadas
,
e
, precisamos calcular:
onde
é o volume do sólido.
Passo 3
Vamos começar calculando o volume
do sólido. Para isso, precisamos estabelecer os limites de integração. Como o sólido está no primeiro octante e limitado por
,
,
e
, os limites são:
Então, o volume será:
Resolvendo a integral interna em
:
Agora, integraremos em
:
Então, o volume
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Integrando em
:
Integrando em
:
De forma similar, para
:
Seguindo os mesmos passos:
Integrando em
:
Finalmente, para
:
Integrando em
:
Simplificando:
Resposta
O centroide do sólido é
.