Encontre o centroide do sólido. O tetraedro do primeiro octante compreendido pelos planos co. ordenados e o plano x + y + z = 1.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar o centroide de um sólido que é um tetraedro no primeiro octante. Esse tetraedro é limitado pelos planos coordenados (os planos x=0, y=0 e z=0) e pelo plano .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo integral, especificamente para calcular as coordenadas do centroide de um sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o centroide. O centroide de um sólido é o ponto que representa o “centro de massa” se considerarmos o sólido com densidade uniforme. Ele tem coordenadas , onde cada coordenada é a média ponderada das coordenadas do sólido.
A fórmula para encontrar o centroide é:
Aqui, é o volume do sólido.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o volume do tetraedro. Como é um tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano , podemos usar a fórmula do volume de um tetraedro:
Á
No nosso caso, a base é o triângulo no plano com as interseções , e , e a altura é 1. Calculando:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Usando a fórmula:
Vamos configurar a integral tripla nas coordenadas cartesianas. Os limites são:
Então,
Integrando em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Finalmente, integramos em relação a :
Então,

Passo 5

De forma semelhante, vamos calcular e . Devido à simetria do tetraedro, sabemos que e .
Portanto,

Resposta

O centroide do tetraedro é .

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