Use a Regra da Cadeia para encontrar
(ou
.)
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função
, onde
e
também dependem de
. Especificamente,
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções compostas e aplicar a Regra da Cadeia corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as dependências das variáveis. Sabemos que
depende de
e
, e por sua vez,
e
dependem de
. Para usar a Regra da Cadeia, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e também as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
em relação a
e
:
Aqui, usamos a derivada de
que é
e aplicamos a regra da cadeia para a parte interna
, lembrando que ao derivar com respeito a
, a derivada de
é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra de potência para derivar
e
.
Passo 5
Com todas as derivadas parciais e individuais calculadas, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar
:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar
:
Resposta
Portanto, a derivada de
em relação a
é: