Use a Regra da Cadeia para encontrar d/z dt (ou d w / d t.)
z = cos(x + 4y), x = 5t^4, y = 1/t.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função , onde e também dependem de . Especificamente, e . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , usando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções compostas e aplicar a Regra da Cadeia corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dependências das variáveis. Sabemos que depende de e , e por sua vez, e dependem de . Para usar a Regra da Cadeia, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e também as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de em relação a e :
Aqui, usamos a derivada de que é e aplicamos a regra da cadeia para a parte interna , lembrando que ao derivar com respeito a , a derivada de é .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Aqui, aplicamos a regra de potência para derivar e .

Passo 5

Com todas as derivadas parciais e individuais calculadas, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar :
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar :

Resposta

Portanto, a derivada de em relação a é:

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