Determine a primitiva de cada função. Verifique suas respostas derivando. f(x) = 1/3 x^(-2/3)

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Precisamos encontrar a primitiva da função . Isso significa que queremos descobrir uma função cuja derivada seja . Para resolver isso, vamos usar as regras de integração de funções potenciais. Basicamente, vamos aplicar a fórmula da antiderivada para potências de .

Passo 2

Primeiro, observamos a função . A constante pode ser mantida fora do processo de integração. Então, vamos focar em integrar .

Passo 3

Para integrar , onde , usamos a fórmula:
onde é a constante de integração. No nosso caso, .

Passo 4

Aplicando a fórmula, temos:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Portanto, a antiderivada de é .

Passo 6

Voltando à nossa função original, multiplicamos pela constante :

Passo 7

Adicionamos a constante de integração , que pode ser qualquer número real, já que derivar uma constante resulta em zero.

Resposta

A primitiva de é:

Verificação

Para verificar, vamos derivar :
Confirmamos que , portanto, a primitiva está correta.

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