Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico das funções abaixo no ponto especificado.
z = 3(x-1)² + 2(y+3)² + 7, (2,-2,12).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e da reta normal para o gráfico da função no ponto específico . Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, onde usamos derivadas parciais para entender como a função se comporta em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da função nas direções das variáveis, e juntos formam o gradiente, que aponta na direção da maior inclinação da função.
A derivada parcial em relação a é:
Já a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto dado .
Substituindo :
Substituindo :
Então, o gradiente no ponto é . Note que a componente vem do fato de que a equação do plano tangente é geralmente escrita em termos de , então reorganizamos para obter a normal.

Passo 4

Com o gradiente em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente a uma função no ponto é:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Agora, para a reta normal, usamos o ponto dado e o vetor normal . A reta normal pode ser parametrizada usando o vetor diretor que é igual ao gradiente.

Passo 5

A equação paramétrica da reta normal é dada por:
onde são as componentes do vetor normal e é o parâmetro.
Substituindo os valores:

Resposta

Equação do Plano Tangente:
Equação Paramétrica da Reta Normal:
onde é um parâmetro real.

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