Use a Regra da Cadeia para encontrar d/z dt (ou d w / d t.)
z = raiz(1 + x^2 + y^2), x = ln(t), y = cos(t).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função , onde e . O objetivo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos reescrever em termos de substituindo e :
Agora, queremos encontrar como muda com o tempo .

Passo 3

A Regra da Cadeia nos diz que se depende de e , e e dependem de , então a derivada de em relação a é:
Isso significa que vamos derivar em relação a e separadamente, e depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Essas derivadas dizem como muda quando ou mudam respectivamente.

Passo 5

Agora, vamos derivar e em relação a :
Isso mostra como e mudam com o tempo.

Passo 6

Finalmente, vamos substituir todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Simplificando um pouco:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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