Use a Regra da Cadeia para encontrar
(ou
.)
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função
, onde
e
. O objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Antes de mais nada, vamos reescrever
em termos de
substituindo
e
:
Agora, queremos encontrar como
muda com o tempo
.
Passo 3
A Regra da Cadeia nos diz que se
depende de
e
, e
e
dependem de
, então a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que vamos derivar
em relação a
e
separadamente, e depois multiplicar pelas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Essas derivadas dizem como
muda quando
ou
mudam respectivamente.
Passo 5
Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
Isso mostra como
e
mudam com o tempo.
Passo 6
Finalmente, vamos substituir todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Simplificando um pouco:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: