Seja
onde
é uma função dada, definida e diferenciável num aberto do
. Expresse
em termos das derivadas parciais de
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a derivada de
em termos das derivadas parciais de
. Estamos trabalhando com cálculo de derivadas, especificamente aplicando a regra da cadeia em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas parciais funcionam e como aplicar a regra da cadeia nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas. Temos
definida em termos de
, onde
e
. Então,
é uma função de duas variáveis,
e
, que por sua vez dependem de
.
Passo 3
Para encontrar
, que é a derivada de
em relação a
, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que a derivada total de
em relação a
é a soma das derivadas parciais de
em relação a cada variável, multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a
.
Passo 4
Vamos escrever isso matematicamente. A derivada de
em relação a
é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
e
são as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A derivada de
em termos das derivadas parciais de
é: