Seja g(x) = f(x, x^3 + 2) onde f(u, v) é uma função dada, definida e diferenciável num aberto do R^2. Expresse g'(x) em termos das derivadas parciais de f.

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a derivada de em termos das derivadas parciais de . Estamos trabalhando com cálculo de derivadas, especificamente aplicando a regra da cadeia em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas parciais funcionam e como aplicar a regra da cadeia nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas. Temos definida em termos de , onde e . Então, é uma função de duas variáveis, e , que por sua vez dependem de .

Passo 3

Para encontrar , que é a derivada de em relação a , vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que a derivada total de em relação a é a soma das derivadas parciais de em relação a cada variável, multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a .

Passo 4

Vamos escrever isso matematicamente. A derivada de em relação a é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. e são as derivadas de e em relação a .

Passo 5

Agora, vamos calcular e :

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A derivada de em termos das derivadas parciais de é:

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