(i) lim x -1^+ |x+1|x+1.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de pela direita ( ) da expressão . Aqui, estamos lidando com limites e valores absolutos. Para resolver, vamos analisar o comportamento de quando chega perto de por valores maiores que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que está se aproximando de vindo de valores maiores que . Ou seja, está um pouquinho maior que , como , , etc.

Passo 3

Agora, vamos analisar . Se está próximo de , então está próximo de . Mais especificamente, como está ligeiramente maior que , será um número positivo próximo de zero.

Passo 4

Com isso, o valor absoluto |x+1|x+1 = x+1x+1 será igual a , já que é positivo nesse caso. Portanto, temos:

Passo 5

Simplificando a fração, obtemos:
x+1x+1 = 1
Isso vale para todo diferente de , onde a expressão está definida.

Resposta

Portanto, o limite é:
lim x -1^+ |x+1|x+1 = 1

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