Sabendo que z=z(x, y), determine partial zpartial x e partial zpartial y, através da diferenciação implícita.
x^2-y^2+z^2-2 z=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que relaciona x^2 - y^2 + z^2 - 2z = 4 com e :
O objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos usar um método chamado diferenciação implícita, que é útil quando está misturado com e na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar toda a equação em relação a ddx(x^2) - ddx(y^2) + ddx(z^2) - ddx(2z) = ddx(4) . Lembre-se que 2x - 0 + 2z cdot partial zpartial x - 2 cdot partial zpartial x = 0 é uma função de e , então quando derivamos termos que envolvem , precisamos usar a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e a derivada de é .
Então, derivando cada termo:
Isso fica:

Passo 3

Agora, vamos isolar 2z cdot partial zpartial x - 2 cdot partial zpartial x = -2x . Juntando os termos que contêm partial zpartial x (2z - 2) = -2x :
partial zpartial x = -2x2z - 2
Fatorando partial zpartial x = -xz - 1 :
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo processo, mas diferenciando a equação em relação a ddy(x^2) - ddy(y^2) + ddy(z^2) - ddy(2z) = ddy(4) .
Derivando cada termo:
0 - 2y + 2z cdot partial zpartial y - 2 cdot partial zpartial y = 0
Isso fica:

Passo 5

Isolando 2z cdot partial zpartial y - 2 cdot partial zpartial y = 2y :
partial zpartial y (2z - 2) = 2y
Fatorando partial zpartial y = 2y2z - 2 :
partial zpartial y = yz - 1
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de partial zpartial x = -xz - 1 são:
partial zpartial y = yz - 1
e

Exercícios relacionados