Sabendo que
, determine
, através da diferenciação implícita.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que relaciona
com
e
:
O objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar um método chamado diferenciação implícita, que é útil quando
está misturado com
e
na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar toda a equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
e
, então quando derivamos termos que envolvem
, precisamos usar a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é
.
Então, derivando cada termo:
Isso fica:
Passo 3
Agora, vamos isolar
. Juntando os termos que contêm
:
Fatorando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo processo, mas diferenciando a equação em relação a
.
Derivando cada termo:
Isso fica:
Passo 5
Isolando
:
Fatorando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
e