Determine os valores máximos e mínimos locais de . Considere a função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais da função . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e análise de extremos de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Isso porque possíveis máximos e mínimos locais ocorrem nesses pontos.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E igualando a zero:

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :
E igualando a zero:

Passo 5

Encontramos o ponto crítico . Agora, para determinar se é máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada ou analisar a natureza da função.

Passo 6

Observando a função , percebemos que os termos quadráticos e têm coeficientes positivos. Isso indica que a função é convexa e, portanto, tem um único mínimo local.

Passo 7

Para confirmar, calculamos o valor da função no ponto :

Resposta

A função possui um mínimo local no ponto com valor mínimo igual a 1. Não há valores máximos locais.

Exercícios relacionados

Classificação: Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias (EDOs)
c) .
Determine o domínio de . Considere a função .
Classificação: Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias (EDOs)
d)
Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto ao elipsoide