Determine os valores máximos e mínimos locais de
. Considere a função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais da função
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e análise de extremos de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Isso porque possíveis máximos e mínimos locais ocorrem nesses pontos.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E igualando a zero:
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E igualando a zero:
Passo 5
Encontramos o ponto crítico
. Agora, para determinar se é máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada ou analisar a natureza da função.
Passo 6
Observando a função
, percebemos que os termos quadráticos
e
têm coeficientes positivos. Isso indica que a função é convexa e, portanto, tem um único mínimo local.
Passo 7
Para confirmar, calculamos o valor da função no ponto
:
Resposta
A função
possui um mínimo local no ponto
com valor mínimo igual a 1. Não há valores máximos locais.
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. Considere a função
.
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