Verdadeiro (V) ou Falso ( F ): ( ) Se f(x, y) é diferenciavel no ponto (a, b) então f(x, y) é contínua em (a, b)
Passo 1
Estamos lidando com uma afirmação que nos pergunta se a diferenciabilidade de uma função
em um ponto
implica na sua continuidade nesse mesmo ponto. Vamos explorar os conceitos de diferenciabilidade e continuidade para entender essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função
é diferenciável em
se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Isso significa que existem derivadas parciais contínuas que descrevem como a função muda em torno de
.
Passo 3
Agora, a continuidade de uma função em um ponto
significa que o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Passo 4
Uma propriedade importante em cálculo multivariável é que se uma função é diferenciável em um ponto, então ela necessariamente é contínua nesse ponto. Isso ocorre porque a existência do plano tangente (diferenciabilidade) garante que pequenos deslocamentos em
e
resultam em pequenos deslocamentos em
, o que satisfaz a definição de continuidade.
Passo 5
Portanto, se
é diferenciável em
, isso implica diretamente que
é contínua em
.
Resposta
Verdadeiro (V).