Verdadeiro (V) ou Falso ( F ): ( ) Se f(x, y) é diferenciavel no ponto (a, b) então f(x, y) é contínua em (a, b)

Passo 1

Estamos lidando com uma afirmação que nos pergunta se a diferenciabilidade de uma função em um ponto implica na sua continuidade nesse mesmo ponto. Vamos explorar os conceitos de diferenciabilidade e continuidade para entender essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Isso significa que existem derivadas parciais contínuas que descrevem como a função muda em torno de .

Passo 3

Agora, a continuidade de uma função em um ponto significa que o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:

Passo 4

Uma propriedade importante em cálculo multivariável é que se uma função é diferenciável em um ponto, então ela necessariamente é contínua nesse ponto. Isso ocorre porque a existência do plano tangente (diferenciabilidade) garante que pequenos deslocamentos em e resultam em pequenos deslocamentos em , o que satisfaz a definição de continuidade.

Passo 5

Portanto, se é diferenciável em , isso implica diretamente que é contínua em .

Resposta

Verdadeiro (V).

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