O potencial elétrico V em (x, y, z) é dado por V = x^2 + 4y^2 + 9z^2. Ache a taxa de variação de V em P(2,-1,3) na direção de P para a origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o potencial elétrico em um ponto no espaço, dado por . O que precisamos fazer é encontrar a taxa de variação de no ponto na direção que vai de para a origem. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto indica como a função está mudando naquele ponto na direção escolhida. Para calcular isso, precisamos do vetor gradiente da função .

Passo 3

O vetor gradiente de , denotado por , é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Vamos calcular isso:
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Em seguida, precisamos determinar a direção da variação, que vai de para a origem . Para isso, criamos o vetor que vai de a :

Passo 6

Para calcular a derivada direcional, precisamos que esse vetor de direção seja um vetor unitário. Vamos calcular a norma de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 7

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Onde representa o produto escalar entre os vetores.

Passo 8

Vamos calcular o produto escalar:
Calculando o numerador:
Então,

Resposta

A taxa de variação de em na direção da origem é .

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