potencial elétrico em é dado por . Ache a taxa de variação de em na direção de para a origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o potencial elétrico em um ponto no espaço, dado por . O que precisamos fazer é encontrar a taxa de variação de no ponto na direção que vai de para a origem. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto indica como a função está mudando naquele ponto na direção escolhida. Para calcular isso, precisamos do vetor gradiente da função .

Passo 3

O vetor gradiente de , denotado por , é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Vamos calcular isso:
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Em seguida, precisamos determinar a direção da variação, que vai de para a origem . Para isso, criamos o vetor que vai de a :

Passo 6

Para calcular a derivada direcional, precisamos que esse vetor de direção seja um vetor unitário. Vamos calcular a norma de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 7

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Onde representa o produto escalar entre os vetores.

Passo 8

Vamos calcular o produto escalar:
Calculando o numerador:
Então,

Resposta

A taxa de variação de em na direção da origem é .

Exercícios relacionados

Faça o que se pede: (b) Descreva a relação entre o vetor gradiente e as curvas de nível da função .
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada por , no ponto .
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre:
a)
Seja . Mostre que: