potencial elétrico
em
é dado por
. Ache a taxa de variação de
em
na direção de
para a origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o potencial elétrico
em um ponto no espaço, dado por
. O que precisamos fazer é encontrar a taxa de variação de
no ponto
na direção que vai de
para a origem. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto indica como a função está mudando naquele ponto na direção escolhida. Para calcular isso, precisamos do vetor gradiente da função
.
Passo 3
O vetor gradiente de
, denotado por
, é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Vamos calcular isso:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Em seguida, precisamos determinar a direção da variação, que vai de
para a origem
. Para isso, criamos o vetor que vai de
a
:
Passo 6
Para calcular a derivada direcional, precisamos que esse vetor de direção seja um vetor unitário. Vamos calcular a norma de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 7
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Onde
representa o produto escalar entre os vetores.
Passo 8
Vamos calcular o produto escalar:
Calculando o numerador:
Então,
Resposta
A taxa de variação de
em
na direção da origem é
.
Exercícios relacionados
Faça o que se pede: (b) Descreva a relação entre o vetor gradiente e as curvas de nível da função
.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície
dada por
, no ponto
.
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre:
a)
a)
Seja
. Mostre que: