Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
(e)
(e)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial dada por
e precisamos esboçar o hodógrafo dessa função. O hodógrafo é basicamente o gráfico da velocidade do movimento descrito pela função vetorial. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de
em relação ao tempo
, que nos dará a função velocidade
.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada de cada componente da função
.
Calculando cada derivada:
Então, a função velocidade fica:
Passo 3
Agora que temos a função velocidade
, vamos entender como esboçar o hodógrafo. O hodógrafo é o conjunto de pontos
que a função velocidade percorre quando o tempo
varia.
Observando
:
-
é constante, ou seja, não depende de . -
varia linearmente com . -
também é constante.
Passo 4
Como
e
são constantes, o hodógrafo será uma linha reta no espaço tridimensional onde:
- A coordenada
está sempre fixada em 2. - A coordenada
está sempre fixa em -1. - A coordenada
varia conforme .
Portanto, o hodógrafo será uma linha paralela ao eixo
, localizada no ponto
.
Passo 5
Para esboçar o hodógrafo:
- Desenhe os eixos
, e em um sistema de coordenadas tridimensional. - Marque o ponto fixo
. - Como
varia de a , desenhe uma linha reta que passa por e se estende infinitamente ao longo do eixo .
Resposta
O hodógrafo da função
é uma linha reta paralela ao eixo
, localizada no ponto
no espaço tridimensional.