Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
(e) r(t) = (2t, t^2 + 1, 1 - t)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial dada por e precisamos esboçar o hodógrafo dessa função. O hodógrafo é basicamente o gráfico da velocidade do movimento descrito pela função vetorial. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de em relação ao tempo , que nos dará a função velocidade .

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de cada componente da função .
Calculando cada derivada:
Então, a função velocidade fica:

Passo 3

Agora que temos a função velocidade , vamos entender como esboçar o hodógrafo. O hodógrafo é o conjunto de pontos que a função velocidade percorre quando o tempo varia.
Observando :
  • é constante, ou seja, não depende de .
  • varia linearmente com .
  • também é constante.

Passo 4

Como e são constantes, o hodógrafo será uma linha reta no espaço tridimensional onde:
  • A coordenada está sempre fixada em 2.
  • A coordenada está sempre fixa em -1.
  • A coordenada varia conforme .
Portanto, o hodógrafo será uma linha paralela ao eixo , localizada no ponto .

Passo 5

Para esboçar o hodógrafo:
  1. Desenhe os eixos , e em um sistema de coordenadas tridimensional.
  2. Marque o ponto fixo .
  3. Como varia de a , desenhe uma linha reta que passa por e se estende infinitamente ao longo do eixo .

Resposta

O hodógrafo da função é uma linha reta paralela ao eixo , localizada no ponto no espaço tridimensional.

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