Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge: sumn=1^infty(-1)^n ln nraizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou é para verificar se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries infinitas, como convergência absoluta e séries alternadas. Vamos passo a passo entender cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se a série converge absolutamente. Isso significa que a série formada pelos valores absolutos dos termos também precisa convergir. Ou seja, vamos analisar .

Passo 3

Para verificar a convergência dessa nova série, podemos usar o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge observando se a integral converge.

Passo 4

Vamos considerar a função integral1^infty ln nraizn , dn e calcular a integral de 1 até o infinito:
Fazendo uma substituição onde e , podemos resolver essa integral.

Passo 5

Após resolver a integral, descobrimos que ela diverge, ou seja, tende ao infinito. Isso significa que a série também diverge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Mas ainda tem a chance de convergir condicionalmente se satisfizer os critérios das séries alternadas.

Passo 7

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos diminuem continuamente.
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero.
No nosso caso, .

Passo 8

Verificamos que realmente diminui conforme aumenta e que .

Passo 9

Como ambos os critérios do teste da série alternada são satisfeitos, conclui-se que a série converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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