Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou é para verificar se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries infinitas, como convergência absoluta e séries alternadas. Vamos passo a passo entender cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se a série converge absolutamente. Isso significa que a série formada pelos valores absolutos dos termos também precisa convergir. Ou seja, vamos analisar .
Passo 3
Para verificar a convergência dessa nova série, podemos usar o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge observando se a integral converge.
Passo 4
Vamos considerar a função integral1^infty ln nraizn , dn e calcular a integral de 1 até o infinito:
Fazendo uma substituição onde e , podemos resolver essa integral.
Passo 5
Após resolver a integral, descobrimos que ela diverge, ou seja, tende ao infinito. Isso significa que a série também diverge.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Mas ainda tem a chance de convergir condicionalmente se satisfizer os critérios das séries alternadas.
Passo 7
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma converge se:
Os termos diminuem continuamente.
O limite de quando tende ao infinito é zero.
No nosso caso, .
Passo 8
Verificamos que realmente diminui conforme aumenta e que .
Passo 9
Como ambos os critérios do teste da série alternada são satisfeitos, conclui-se que a série converge condicionalmente.