Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(g) x^2 - 2y^2 + z^2 = 3, (-1, 1, -2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar duas coisas:
  1. A equação do plano tangente à superfície no ponto .
  2. A equação da reta normal a essa superfície no mesmo ponto.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre planos tangentes e vetores normais a superfícies. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, para achar o plano tangente, precisamos encontrar o gradiente da função que define a superfície. O gradiente nos dá um vetor normal à superfície naquele ponto.
A função da superfície é:

Passo 3

Calculamos o gradiente de , que é dado pelas derivadas parciais em relação a , e :
Vamos calcular cada derivada:

Passo 4

No ponto , substituímos os valores de , e no gradiente:
Esse vetor é normal à superfície no ponto dado.

Passo 5

Agora, usamos a equação do plano tangente que é dada por:
Onde é o ponto dado e é o gradiente calculado.
Substituindo:

Passo 6

Distribuindo e simplificando a equação:
Podemos multiplicar tudo por para deixar a equação mais simples:
E dividindo por 2:

Passo 7

Agora, para encontrar a equação da reta normal, usamos a forma paramétrica da reta que passa pelo ponto na direção do vetor normal .
A equação paramétrica é:
Onde é o ponto e é o vetor diretor.
Substituindo:

Resposta

(i) A equação do plano tangente é .
(ii) A equação paramétrica da reta normal é:
onde é um parâmetro real.

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