Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar duas coisas:
A equação do plano tangente à superfície no ponto .
A equação da reta normal a essa superfície no mesmo ponto.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre planos tangentes e vetores normais a superfícies. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, para achar o plano tangente, precisamos encontrar o gradiente da função que define a superfície. O gradiente nos dá um vetor normal à superfície naquele ponto.
A função da superfície é:
Passo 3
Calculamos o gradiente de , que é dado pelas derivadas parciais em relação a , e :
Vamos calcular cada derivada:
Passo 4
No ponto , substituímos os valores de , e no gradiente:
Esse vetor é normal à superfície no ponto dado.
Passo 5
Agora, usamos a equação do plano tangente que é dada por:
Onde é o ponto dado e é o gradiente calculado.
Substituindo:
Passo 6
Distribuindo e simplificando a equação:
Podemos multiplicar tudo por para deixar a equação mais simples:
E dividindo por 2:
Passo 7
Agora, para encontrar a equação da reta normal, usamos a forma paramétrica da reta que passa pelo ponto na direção do vetor normal .