Reduzir à primeira ordem e resolver:
Passo 1
Beleza, então o que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Vamos trabalhar com matéria de equações diferenciais, especificamente reduzindo uma equação de segunda ordem para a primeira ordem para facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar usar uma substituição que vai transformar essa equação complicada em algo mais simples de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos chamar a derivada primeira de
de
:
Assim, a derivada segunda
passa a ser a derivada de
em relação a
:
Agora, substituímos isso na equação original:
Passo 3
Agora temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para integrar. Vamos reescrever a equação:
Então, isolamos
:
Passo 4
Vamos integrar os dois lados da equação:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Então:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
integrando
:
A integral de
é:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação é: