Reduzir à primeira ordem e resolver: y'' + (y')^2 = 0

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Vamos trabalhar com matéria de equações diferenciais, especificamente reduzindo uma equação de segunda ordem para a primeira ordem para facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar usar uma substituição que vai transformar essa equação complicada em algo mais simples de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos chamar a derivada primeira de de :
Assim, a derivada segunda passa a ser a derivada de em relação a :
Agora, substituímos isso na equação original:

Passo 3

Agora temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis e para integrar. Vamos reescrever a equação:
Então, isolamos :

Passo 4

Vamos integrar os dois lados da equação:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, resolvemos para :
Multiplicando ambos os lados por -1:
Então:
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar integrando :
A integral de é:
Onde é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados