Reduzir à primeira ordem e resolver: y'' = y' * tgh(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para reduzir uma equação diferencial de segunda ordem para a primeira ordem e resolvê-la. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar substituições que facilitem a transformação da equação de segunda ordem para a primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as coisas. Vamos chamar a primeira derivada de de , ou seja:
Se a gente fizer isso, a segunda derivada vira a derivada de , que é . Então, a nossa equação original fica:
Agora, temos uma equação linear de primeira ordem para , o que é mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos resolver a equação . Essa é uma equação diferencial linear que pode ser escrita como:
Para resolver isso, usamos o método de separação de variáveis. Vamos separar e de lados opostos da equação:

Passo 4

Agora, vamos integrar os dois lados. A integral de é , e a integral de é . Então, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para . Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Aqui, é uma nova constante.

Passo 6

Lembrando que , temos:
Agora, precisamos integrar isso para encontrar .

Passo 7

Integrando :
Onde é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes reais.

Exercícios relacionados