Reduzir à primeira ordem e resolver:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para reduzir uma equação diferencial de segunda ordem para a primeira ordem e resolvê-la. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar substituições que facilitem a transformação da equação de segunda ordem para a primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as coisas. Vamos chamar a primeira derivada de
de
, ou seja:
Se a gente fizer isso, a segunda derivada
vira a derivada de
, que é
. Então, a nossa equação original fica:
Agora, temos uma equação linear de primeira ordem para
, o que é mais fácil de resolver.
Passo 3
Vamos resolver a equação
. Essa é uma equação diferencial linear que pode ser escrita como:
Para resolver isso, usamos o método de separação de variáveis. Vamos separar
e
de lados opostos da equação:
Passo 4
Agora, vamos integrar os dois lados. A integral de
é
, e a integral de
é
. Então, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para
. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Aqui,
é uma nova constante.
Passo 6
Lembrando que
, temos:
Agora, precisamos integrar isso para encontrar
.
Passo 7
Integrando
:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes reais.