Uma parede vertical forma um ângulo de
radianos com o chão. Uma escada de 200 cm de comprimento está apoiada na parede e sua parte superior desliza para baixo à taxa de
. Com que velocidade varia a área do triângulo formado por escada, parede e chão, quando a escada forma um ângulo de
radianos com o chão?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma escada de 200 cm de comprimento apoiada em uma parede. A escada está deslizando para baixo a uma taxa de 30 cm/s. Queremos saber como a área do triângulo formado pela escada, a parede e o chão está mudando quando a escada forma um ângulo de
radianos com o chão.
Conteúdo da matéria: Este problema envolve derivadas relacionadas e como taxas de variação se relacionam em geometria. Vamos precisar usar trigonometria básica e cálculo diferencial para encontrar a taxa de variação da área.
Passo 2
Vamos representar o problema matematicamente. Imagine um triângulo retângulo onde:
- A escada é a hipotenusa de comprimento fixo
cm. - A altura da parede é
, que está mudando com o tempo. - A distância do pé da escada ao muro é
, que também está mudando com o tempo. - O ângulo entre a escada e o chão é
.
Sabemos que a parte superior da escada desliza para baixo a uma taxa de
cm/s (o sinal negativo indica que h está diminuindo).
Passo 3
Primeiro, vamos relacionar
,
e
usando trigonometria. Como temos um triângulo retângulo:
Como
cm é constante, podemos derivar ambos os lados em relação ao tempo
:
Mas queremos relacionar
e
. Sabemos que:
Derivando em relação ao tempo:
Passo 4
Agora, vamos expressar a área
do triângulo em termos de
e
:
Queremos encontrar
. Vamos derivar
em relação ao tempo usando a regra do produto:
Passo 5
Vamos encontrar
e
quando
. Usando as relações trigonométricas:
Passo 6
Agora, usamos a relação derivada entre
e
. Da Passo 3 temos:
E da Passo 2:
Podemos resolver essas equações para encontrar
:
Primeiro, encontre
:
Agora, substitua
na primeira equação:
Passo 7
Agora que temos
cm,
cm,
cm/s e
cm/s, vamos substituir na fórmula da derivada da área:
Resposta
A área do triângulo está diminuindo a uma taxa de
cm²/s quando a escada forma um ângulo de
radianos com o chão.
Exercícios relacionados
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado:
Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais
e
:
Verificar se a função
é solução da equação diferencial
.
Verificar se a função
é solução da equação diferencial
.