Uma parede vertical forma um ângulo de radianos com o chão. Uma escada de 200 cm de comprimento está apoiada na parede e sua parte superior desliza para baixo à taxa de . Com que velocidade varia a área do triângulo formado por escada, parede e chão, quando a escada forma um ângulo de radianos com o chão?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma escada de 200 cm de comprimento apoiada em uma parede. A escada está deslizando para baixo a uma taxa de 30 cm/s. Queremos saber como a área do triângulo formado pela escada, a parede e o chão está mudando quando a escada forma um ângulo de radianos com o chão.
Conteúdo da matéria: Este problema envolve derivadas relacionadas e como taxas de variação se relacionam em geometria. Vamos precisar usar trigonometria básica e cálculo diferencial para encontrar a taxa de variação da área.

Passo 2

Vamos representar o problema matematicamente. Imagine um triângulo retângulo onde:
  • A escada é a hipotenusa de comprimento fixo cm.
  • A altura da parede é , que está mudando com o tempo.
  • A distância do pé da escada ao muro é , que também está mudando com o tempo.
  • O ângulo entre a escada e o chão é .
Sabemos que a parte superior da escada desliza para baixo a uma taxa de cm/s (o sinal negativo indica que h está diminuindo).

Passo 3

Primeiro, vamos relacionar , e usando trigonometria. Como temos um triângulo retângulo:
Como cm é constante, podemos derivar ambos os lados em relação ao tempo :
Mas queremos relacionar e . Sabemos que:
Derivando em relação ao tempo:

Passo 4

Agora, vamos expressar a área do triângulo em termos de e :
Queremos encontrar . Vamos derivar em relação ao tempo usando a regra do produto:

Passo 5

Vamos encontrar e quando . Usando as relações trigonométricas:

Passo 6

Agora, usamos a relação derivada entre e . Da Passo 3 temos:
E da Passo 2:
Podemos resolver essas equações para encontrar :
Primeiro, encontre :
Agora, substitua na primeira equação:

Passo 7

Agora que temos cm, cm, cm/s e cm/s, vamos substituir na fórmula da derivada da área:

Resposta

A área do triângulo está diminuindo a uma taxa de cm²/s quando a escada forma um ângulo de radianos com o chão.

Exercícios relacionados

Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado:
Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais e :
Verificar se a função é solução da equação diferencial .
Verificar se a função é solução da equação diferencial .