Uma partícula movendo-se começa numa posição inicial r(0) = j - 4 k com uma velocidade inicial v(0) = -k. Sua aceleração é a(t) = sen(t) i + 2 cos(t) j + 6 t k. Determine a sua velocidade e posição no momento t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de uma partícula que tem uma posição e velocidade iniciais dadas, e uma aceleração que depende do tempo. A gente vai usar conceitos de cinemática vetorial, que envolve posição, velocidade e aceleração. Para resolver, precisamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a aceleração da partícula:
Para encontrar a velocidade, integramos a aceleração em relação ao tempo.

Passo 3

Integrando cada componente da aceleração:
Então, a velocidade é:

Passo 4

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar as constantes de integração. Sabemos que em , a velocidade é . Vamos substituir:
Igualando os componentes:
Dessa forma, , , e .

Passo 5

Substituindo as constantes na expressão da velocidade:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a posição integrando a velocidade:
Integrando cada componente:
Então, a posição é:

Passo 7

Usamos a posição inicial para encontrar as constantes :
Igualando os componentes:
Então, , , e .

Passo 8

Substituindo as constantes na expressão da posição:
Simplificando:

Resposta

A velocidade da partícula no momento é:
E a posição da partícula no momento é:

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