Uma partícula movendo-se começa numa posição inicial
com uma velocidade inicial
. Sua aceleração é
. Determine a sua velocidade e posição no momento
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de uma partícula que tem uma posição e velocidade iniciais dadas, e uma aceleração que depende do tempo. A gente vai usar conceitos de cinemática vetorial, que envolve posição, velocidade e aceleração. Para resolver, precisamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a aceleração da partícula:
Para encontrar a velocidade, integramos a aceleração em relação ao tempo.
Passo 3
Integrando cada componente da aceleração:
Então, a velocidade é:
Passo 4
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar as constantes de integração. Sabemos que em
, a velocidade é
. Vamos substituir:
Igualando os componentes:
Dessa forma,
,
, e
.
Passo 5
Substituindo as constantes na expressão da velocidade:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a posição integrando a velocidade:
Integrando cada componente:
Então, a posição é:
Passo 7
Usamos a posição inicial
para encontrar as constantes
:
Igualando os componentes:
Então,
,
, e
.
Passo 8
Substituindo as constantes na expressão da posição:
Simplificando:
Resposta
A velocidade da partícula no momento
é:
E a posição da partícula no momento
é: