Quando três vetores são linearmente independentes? Dê um exemplo gráfico (desenhe!) de três vetores linearmente independentes em R^3.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com vetores e independência linear na matemática, especificamente no espaço tridimensional, denotado por R^3. Precisamos responder quando três vetores são linearmente independentes e também fornecer um exemplo gráfico desses vetores no R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre linearmente independentes. Três vetores são linearmente independentes se nenhum deles puder ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Isso significa que não existe nenhuma relação de dependência entre eles.

Passo 3

Para verificar a independência linear, podemos montar uma equação onde uma combinação linear dos vetores é igual ao vetor zero:
av1 + bv2 + cv3 = 0
Aqui, a, b e c são escalares. Se a única solução para essa equação for a = b = c = 0, então os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

No espaço R^3, para que três vetores sejam linearmente independentes, eles precisam não estarem todos no mesmo plano. Isso significa que não há um plano que contenha todos os três vetores simultaneamente.

Passo 5

Um jeito fácil de visualizar isso é imaginar o sistema de eixos coordenados: os vetores unitários ao longo do eixo x, y e z. Esses vetores são ótimos exemplos de vetores que são linearmente independentes.

Passo 6

Vamos dar um exemplo específico. Considere os seguintes vetores em R^3:
v1 = (1, 0, 0) v2 = (0, 1, 0) v3 = (0, 0, 1)
Esses vetores apontam para as direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 7

Para verificar a independência linear desses vetores, montamos a equação:
a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (0, 0, 0)
Isso resulta em:
(a, b, c) = (0, 0, 0)
A única solução é a = b = c = 0, confirmando que os vetores são linearmente independentes.

Passo 8

Graficamente, esses vetores são representados como as setas que partem da origem e se estendem ao longo dos eixos x, y e z. Como eles apontam em direções diferentes e nenhum está no plano formado pelos outros dois, eles são linearmente independentes.

Resposta

Três vetores em R^3 são linearmente independentes quando nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois, o que ocorre quando eles não estão no mesmo plano. Um exemplo gráfico desses vetores são os vetores unitários ao longo dos eixos x, y e z:
v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1)
Esses vetores apontam em direções distintas e não são coplanares, garantindo sua independência linear.

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