Determine as equações da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as equações da reta que passa pela origem e que é ortogonal (ou seja, perpendicular) às duas retas dadas no enunciado. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial. Vamos precisar identificar os vetores diretores das retas fornecidas e depois encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das retas dadas. Parece que temos duas retas no espaço tridimensional. Vamos chamar essas retas de e .
Vamos supor que as equações paramétricas das retas sejam:
Como algumas informações estão faltando, vamos focar nos componentes que temos para identificar os vetores diretores.
Passo 3
Para cada reta, o vetor diretor é dado pelos coeficientes dos parâmetros e . Vamos identificar esses vetores:
Para , observamos que e . Assim, o vetor diretor de é .
Para , temos e . Então, o vetor diretor de é .
Passo 4
Agora, queremos encontrar um vetor n = v1 times v2 que seja perpendicular a ambos n = i & j & k 1 & 0 & 6 2 & 0 & 0 = i(0 cdot 0 - 6 cdot 0) - j(1 cdot 0 - 6 cdot 2) + k(1 cdot 0 - 0 cdot 2) e n = i(0) - j(-12) + k(0) = 0 12 0 . Para isso, usamos o produto vetorial:
Vamos calcular isso:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal 0 12 0 , podemos usar isso para definir a reta que passa pela origem e é ortogonal às retas x = 0 cdot lambda = 0 y = 12 lambda z = 0 cdot lambda = 0 e .
A equação paramétrica dessa reta será:
Onde é o parâmetro.
Passo 6
Simplificando as equações, temos que a reta que passa pela origem e é ortogonal às retas dadas é direcionada apenas pelo eixo r(lambda) = lambda 0 12 0 , lambda in R . Portanto, a equação vetorial da reta é:
Resposta
A equação da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas dadas é: