Determine as equações da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas
& 5 t+3 square s & z=6 t z=-7 & r1: x=t++5 r2: x=1++2 s & 2 y= square 3 s y=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as equações da reta que passa pela origem e que é ortogonal (ou seja, perpendicular) às duas retas dadas no enunciado. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial. Vamos precisar identificar os vetores diretores das retas fornecidas e depois encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das retas dadas. Parece que temos duas retas no espaço tridimensional. Vamos chamar essas retas de r1: x &= t + 5 & y = (informação fa e .
Vamos supor que as equações paramétricas das retas sejam:
çãçã
Como algumas informações estão faltando, vamos focar nos componentes que temos para identificar os vetores diretores.

Passo 3

Para cada reta, o vetor diretor é dado pelos coeficientes dos parâmetros 1 0 6 e 2 0 0 . Vamos identificar esses vetores:
  • Para , observamos que e . Assim, o vetor diretor de é .
  • Para , temos e . Então, o vetor diretor de é .

Passo 4

Agora, queremos encontrar um vetor n = v1 times v2 que seja perpendicular a ambos n = i & j & k 1 & 0 & 6 2 & 0 & 0 = i(0 cdot 0 - 6 cdot 0) - j(1 cdot 0 - 6 cdot 2) + k(1 cdot 0 - 0 cdot 2) e n = i(0) - j(-12) + k(0) = 0 12 0 . Para isso, usamos o produto vetorial:
Vamos calcular isso:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal 0 12 0 , podemos usar isso para definir a reta que passa pela origem e é ortogonal às retas x = 0 cdot lambda = 0 y = 12 lambda z = 0 cdot lambda = 0 e .
A equação paramétrica dessa reta será:
Onde é o parâmetro.

Passo 6

Simplificando as equações, temos que a reta que passa pela origem e é ortogonal às retas dadas é direcionada apenas pelo eixo r(lambda) = lambda 0 12 0 , lambda in R . Portanto, a equação vetorial da reta é:

Resposta

A equação da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas dadas é:
x = 0 y = 12lambda z = 0
Ou de forma vetorial:
r(lambda) = lambda 0 12 0 , lambda in R

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