Sejam e um subespaço vetorial de gerado pelos vetores do conjunto . Determine :
a) W;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o subespaço de que é gerado pelos vetores do conjunto . O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre geração de subespaços vetoriais e combinação linear. Para resolver, vamos precisar entender como identificar se os vetores são independentes e qual é a base desse subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores de são linearmente independentes. Se não forem, podemos simplificar o conjunto para ter uma base menor. Para isso, montamos uma matriz onde cada vetor é uma coluna:
Passo 3
Agora, vamos realizar operações de linha para reduzir essa matriz e ver se conseguimos identificar combinações lineares entre os vetores. Subtraindo a primeira coluna da segunda e da terceira, temos:
Passo 4
Observamos que a segunda coluna é múltiplo da quarta coluna ( e ), o que indica dependência linear. Também vemos que a primeira e a terceira colunas são iguais, outra indicação de dependência. Portanto, os vetores não são todos independentes.
Passo 5
Com isso, podemos escolher uma base menor para . Por exemplo, podemos pegar os vetores e . Esses dois vetores são suficientes para gerar todo o subespaço já que os outros vetores são combinações lineares deles.
Resposta
O subespaço é o conjunto de todos os vetores de que podem ser expressos como combinações lineares de e . Ou seja,