Sejam e um subespaço vetorial de gerado pelos vetores do conjunto . Determine :
a) W;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o subespaço de que é gerado pelos vetores do conjunto . O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre geração de subespaços vetoriais e combinação linear. Para resolver, vamos precisar entender como identificar se os vetores são independentes e qual é a base desse subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores de são linearmente independentes. Se não forem, podemos simplificar o conjunto para ter uma base menor. Para isso, montamos uma matriz onde cada vetor é uma coluna:

Passo 3

Agora, vamos realizar operações de linha para reduzir essa matriz e ver se conseguimos identificar combinações lineares entre os vetores. Subtraindo a primeira coluna da segunda e da terceira, temos:

Passo 4

Observamos que a segunda coluna é múltiplo da quarta coluna ( e ), o que indica dependência linear. Também vemos que a primeira e a terceira colunas são iguais, outra indicação de dependência. Portanto, os vetores não são todos independentes.

Passo 5

Com isso, podemos escolher uma base menor para . Por exemplo, podemos pegar os vetores e . Esses dois vetores são suficientes para gerar todo o subespaço já que os outros vetores são combinações lineares deles.

Resposta

O subespaço é o conjunto de todos os vetores de que podem ser expressos como combinações lineares de e . Ou seja,

Exercícios relacionados

As superfícies e estão em coordenadas esféricas.
.
Determine as equações da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas
Sejam e um subespaço vetorial de gerado pelos vetores do conjunto . Determine:
a) ;
Dados os pontos , ,
h) Quais pontos estão nos planos yz e xz?