Sejam V=R^4 e W um subespaço vetorial de V gerado pelos vetores do conjunto A=(1,1,0,0),(1,1,3,4),(2,2,0,0),(0,0,3,4). Determine :
a) W;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o subespaço de que é gerado pelos vetores do conjunto . O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre geração de subespaços vetoriais e combinação linear. Para resolver, vamos precisar entender como identificar se os vetores são independentes e qual é a base desse subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores de 1 & 1 & 2 & 0 1 & 1 & 2 & 0 0 & 3 & 0 & 3 0 & 4 & 0 & 4 são linearmente independentes. Se não forem, podemos simplificar o conjunto para ter uma base menor. Para isso, montamos uma matriz onde cada vetor é uma coluna:

Passo 3

Agora, vamos realizar operações de linha para reduzir essa matriz e ver se conseguimos identificar combinações lineares entre os vetores. Subtraindo a primeira coluna da segunda e da terceira, temos:
1 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 0 & 3 0 & 4 & 0 & 4

Passo 4

Observamos que a segunda coluna é múltiplo da quarta coluna ( e ), o que indica dependência linear. Também vemos que a primeira e a terceira colunas são iguais, outra indicação de dependência. Portanto, os vetores não são todos independentes.

Passo 5

Com isso, podemos escolher uma base menor para . Por exemplo, podemos pegar os vetores e . Esses dois vetores são suficientes para gerar todo o subespaço já que os outros vetores são combinações lineares deles.

Resposta

O subespaço W = lambda (1,1,0,0) + mu (1,1,3,4) mid lambda, mu in R é o conjunto de todos os vetores de que podem ser expressos como combinações lineares de e . Ou seja,

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