As superfícies S1: phi=pi3 e S2: rho^2 sin ^2 phi-2 rho^2 cos ^2 phi=1 estão em coordenadas esféricas.
(c) Esboce a(s) curva(s) C=S1 cap S2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar a curva que resulta da interseção das superfícies e em coordenadas esféricas. A matéria aqui envolve geometria espacial e coordenadas esféricas. Pra resolver isso, vamos precisar entender como as equações dessas superfícies se comportam e como elas se cruzam no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a superfície . Na coordenada esférica, é o ângulo polar, que mede o ângulo entre o vetor posição e o eixo . Então, representa um cone com esse ângulo em relação ao eixo .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a superfície rho^2 (sin^2 phi - 2 cos^2 phi) = 1 . Podemos simplificar essa equação fatorando :
Isso nos ajuda a entender melhor a forma dessa superfície.

Passo 4

Como queremos encontrar a curva de interseção rho^2 ( sin^2 ( pi3 ) - 2 cos^2 ( pi3 ) ) = 1 , vamos substituir rho^2 ( ( raiz32 )^2 - 2 ( 12 )^2 ) = 1 na equação de :
Sabemos que e , então:

Passo 5

Calculando os quadrados:
rho^2 ( 34 - 2 cdot 14 ) = 1
rho^2 ( 34 - 24 ) = 1
rho^2 cdot 14 = 1

Passo 6

Agora, resolvemos para rho^2 = 4 :
rho = raiz4 = 2

Passo 7

Então, a curva de interseção rho = 2 e phi = pi3 está definida por:
Isso significa que é um círculo na superfície do cone com raio .

Resposta

A curva de interseção é um círculo com raio situado no cone . O esboço mostra esse círculo cortando o cone formado por .

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