Determine as reduzidas das retas: passa por A(4,-1,2) e tem direção i-j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos as equações reduzidas de uma reta que passa pelo ponto A(4, -1, 2) e tem direção dada pelo vetor i - j. Isso envolve conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especialmente como descrever uma reta usando um ponto e um vetor diretor.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as coordenadas do vetor direção. O vetor i - j pode ser representado como (1, -1, 0), já que:
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)
Portanto, i - j = (1 - 0, 0 - 1, 0 - 0) = (1, -1, 0).

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula das equações reduzidas da reta no espaço, que é:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
Onde (x0, y0, z0) é um ponto da reta e (a, b, c) é o vetor direção.

Passo 4

Substituindo os valores que temos:
  • Ponto A(4, -1, 2): x0 = 4, y0 = -1, z0 = 2
  • Vetor direção (1, -1, 0): a = 1, b = -1, c = 0
Então, a equação fica:
x - 41 = y - (-1)-1 = z - 20

Passo 5

Observe que o denominador do termo envolvendo z é 0. Isso significa que z não varia ao longo da reta, ou seja, z é constante. Portanto, a terceira parte da equação reduzida nos dá diretamente z = 2.

Passo 6

Simplificando as outras frações, temos:
x - 41 = y + 1-1
Isso pode ser reescrito como:
x - 4 = - (y + 1)
Ou ainda:
x = -y -1 +4 implies x = -y +3

Resposta

As equações reduzidas da reta são:
x - 41 = y + 1-1 e z = 2

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