Mostre que a reta tangente à parábola
, no ponto
diferente do seu vértice, corta o eixo dos
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a reta tangente à parábola
, no ponto
que não é o vértice, cruza o eixo dos
no ponto onde
.
Aqui, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar a equação da reta tangente e depois descobrir onde ela intercepta o eixo dos
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, sabemos que no ponto
, a inclinação da tangente é
.
Então, a equação da reta tangente pode ser escrita usando a forma ponto-inclinação:
onde
é a inclinação, que já sabemos ser
.
Substituindo:
Passo 4
Sabemos que
, então podemos substituir:
Vamos simplificar essa equação:
Passo 5
Para encontrar onde a reta tangente corta o eixo dos
, precisamos saber quando
.
Então, vamos resolver:
Resposta
A reta tangente à parábola
no ponto
corta o eixo dos
no ponto onde
.
Exercícios relacionados
Determine as equações das retas horizontais que são tangentes ao gráfico da função
.
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
, no ponto cuja abscissa é indicada.
b)
b)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
d)
d)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
i)
i)