Mostre que a reta tangente à parábola f(x) = x^2, no ponto (x0, y0) diferente do seu vértice, corta o eixo dos x no ponto x = x0 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a reta tangente à parábola , no ponto que não é o vértice, cruza o eixo dos no ponto onde .
Aqui, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar a equação da reta tangente e depois descobrir onde ela intercepta o eixo dos .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, sabemos que no ponto , a inclinação da tangente é .
Então, a equação da reta tangente pode ser escrita usando a forma ponto-inclinação:
onde é a inclinação, que já sabemos ser .
Substituindo:

Passo 4

Sabemos que , então podemos substituir:
Vamos simplificar essa equação:

Passo 5

Para encontrar onde a reta tangente corta o eixo dos , precisamos saber quando .
Então, vamos resolver:

Resposta

A reta tangente à parábola no ponto corta o eixo dos no ponto onde .

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