Escreva, se possível, w como combinação linear de v1, v2 e v3 :
v1=(3,-1,1,0), v2=(0,1,-1,2), v3=(1,-1,0,0) e w=(-1,4,-4,6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de combinar vetores! A gente precisa escrever o vetor w como uma combinação linear dos vetores v1, v2 e v3. Isso significa que vamos encontrar coeficientes (vamos chamar de a, b e c) tais que:
av1 + bv2 + cv3 = w
Para isso, vamos usar o conteúdo de combinação linear e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Vamos substituir os valores dos vetores na equação:
a(3, -1, 1, 0) + b(0, 1, -1, 2) + c(1, -1, 0, 0) = (-1, 4, -4, 6)
Isso dá um sistema de equações para cada componente:
3a + 0b + c = -1 -1a + 1b - 1c = 4 1a - 1b + 0c = -4 0a + 2b + 0c = 6

Passo 3

Vamos simplificar o sistema:
  1. Da primeira equação: 3a + c = -1
  2. Da segunda: -a + b - c = 4
  3. Da terceira: a - b = -4
  4. Da quarta: 2b = 6
Começamos resolvendo a quarta equação para encontrar b:
2b = 6 Rightarrow b = 3

Passo 4

Agora, com b = 3, vamos para a terceira equação:
a - 3 = -4 Rightarrow a = -1

Passo 5

Com a = -1, vamos para a primeira equação para encontrar c:
3(-1) + c = -1 Rightarrow -3 + c = -1 Rightarrow c = 2

Passo 6

Vamos verificar na segunda equação para confirmar:
-(-1) + 3 - 2 = 1 + 3 - 2 = 2 neq 4
Parece que houve um erro. Isso indica que não há combinação linear dos vetores v1, v2 e v3 que resulte em w.

Resposta

Não é possível escrever w como combinação linear de v1, v2 e v3.

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