Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
no ponto de abscissa
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal em qualquer ponto da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto
. Isso significa calcular
.
Sabemos que:
E como
, temos:
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada da função
, que nos dará a inclinação da reta tangente no ponto
. A derivada de
é
.
Então:
Calculando no ponto
:
Sabemos que
, então:
Portanto:
A inclinação da reta tangente é 2.
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente (
) e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Ou seja:
Esta é a equação da reta tangente.
Passo 5
Para encontrar a reta normal, precisamos da inclinação que é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Então:
Usando a mesma fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Ou seja:
Esta é a equação da reta normal.
Resposta
A equação da reta tangente é:
E a equação da reta normal é:
Exercícios relacionados
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
no ponto de abscissa
:
Calcule as seguintes derivadas:
Determine uma reta tangente ao gráfico de
, sabendo que a reta normal é paralela à reta
.
Determine a derivada das seguintes funções: