Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de no ponto de abscissa :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal em qualquer ponto da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto . Isso significa calcular .
Sabemos que:
E como , temos:

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada da função , que nos dará a inclinação da reta tangente no ponto . A derivada de é .
Então:
Calculando no ponto :
Sabemos que , então:
Portanto:
A inclinação da reta tangente é 2.

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente ( ) e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Ou seja:
Esta é a equação da reta tangente.

Passo 5

Para encontrar a reta normal, precisamos da inclinação que é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Então:
Usando a mesma fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Ou seja:
Esta é a equação da reta normal.

Resposta

A equação da reta tangente é:
E a equação da reta normal é:

Exercícios relacionados

Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de no ponto de abscissa :
Calcule as seguintes derivadas:
Determine uma reta tangente ao gráfico de , sabendo que a reta normal é paralela à reta .
Determine a derivada das seguintes funções: