Determine uma reta tangente ao gráfico de , sabendo que a reta normal é paralela à reta .

Passo 1

No enunciado, a gente precisa encontrar uma reta tangente ao gráfico de no intervalo de entre e . Além disso, essa reta tangente deve ter a reta normal paralela à reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes e normais a uma função em determinado ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a inclinação da reta é o coeficiente de , que é . Já que a reta normal à nossa reta tangente deve ser paralela a essa, a inclinação da reta normal também será .

Passo 3

Sabemos que a inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Se chamarmos a inclinação da reta tangente de , então a inclinação da reta normal será . Como a inclinação da reta normal precisa ser , temos:

Passo 4

Resolvendo a equação acima para :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ponto onde a reta tangente tem inclinação . Para isso, precisamos calcular a derivada de :
Queremos que :

Passo 6

Resolvendo no intervalo , encontramos que:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 7

Agora que temos o ponto de tangência e a inclinação da reta tangente , podemos usar a equação da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A reta tangente ao gráfico de no intervalo , cuja reta normal é paralela a , é:

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Determine a derivada das seguintes funções:
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