Determine uma reta tangente ao gráfico de
, sabendo que a reta normal é paralela à reta
.
Passo 1
No enunciado, a gente precisa encontrar uma reta tangente ao gráfico de
no intervalo de
entre
e
. Além disso, essa reta tangente deve ter a reta normal paralela à reta
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes e normais a uma função em determinado ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a inclinação da reta
é o coeficiente de
, que é
. Já que a reta normal à nossa reta tangente deve ser paralela a essa, a inclinação da reta normal também será
.
Passo 3
Sabemos que a inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Se chamarmos a inclinação da reta tangente de
, então a inclinação da reta normal será
. Como a inclinação da reta normal precisa ser
, temos:
Passo 4
Resolvendo a equação acima para
:
Então, a inclinação da reta tangente
é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o ponto
onde a reta tangente tem inclinação
. Para isso, precisamos calcular a derivada de
:
Queremos que
:
Passo 6
Resolvendo
no intervalo
, encontramos que:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 7
Agora que temos o ponto de tangência
e a inclinação da reta tangente
, podemos usar a equação da reta:
Substituindo os valores:
Resposta
A reta tangente ao gráfico de
no intervalo
, cuja reta normal é paralela a
, é:
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no ponto de abscissa
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Determine a derivada das seguintes funções:
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