Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
no ponto de abscissa
:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto onde
. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente e, a partir disso, determinar as equações das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
para determinar o ponto no gráfico onde faremos as retas tangente e normal:
Então, o ponto de interesse é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
:
Em seguida, substituímos
na derivada para encontrar a inclinação no ponto específico:
Então, a inclinação da reta tangente é 9.
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente e o ponto
, usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar sua inclinação, usamos o fato de que se duas retas são perpendiculares, o produto de suas inclinações é -1. Como a inclinação da tangente é 9, a inclinação da normal será:
Usando a mesma fórmula da reta, com
e o ponto
:
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é
.
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.
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Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
no ponto de abscissa
:
Determine uma reta tangente ao gráfico de
, sabendo que a reta normal é paralela à reta
.