Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de no ponto de abscissa :

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente e, a partir disso, determinar as equações das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de para determinar o ponto no gráfico onde faremos as retas tangente e normal:
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto :
Em seguida, substituímos na derivada para encontrar a inclinação no ponto específico:
Então, a inclinação da reta tangente é 9.

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo , e :
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar sua inclinação, usamos o fato de que se duas retas são perpendiculares, o produto de suas inclinações é -1. Como a inclinação da tangente é 9, a inclinação da normal será:
Usando a mesma fórmula da reta, com e o ponto :
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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Calcule as seguintes derivadas:
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Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de no ponto de abscissa :
Determine uma reta tangente ao gráfico de , sabendo que a reta normal é paralela à reta .