Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
, no ponto cuja abscissa é indicada.
a)
a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício de encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a determinar a inclinação das retas tangente e normal em um determinado ponto de uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ponto no gráfico da função quando
. Substituindo na função:
Para resolver
, lembramos que
. Então,
Portanto, o ponto de interesse é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
para determinar a inclinação da reta tangente no ponto
.
A derivada de
é
. Aplicando isso aqui:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação da tangente e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Portanto, a equação da reta tangente é
.
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Se a inclinação da tangente é
, a inclinação da normal é o negativo do inverso:
Passo 7
Usando a mesma fórmula da reta com a inclinação da normal:
Portanto, a equação da reta normal é
.
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.
Exercícios relacionados
Suponha que
seja uma função derivável em
, satisfazendo
. Se
, determine
e
.
Encontre a derivada da cada função dada, usando a definição.
c)
c)
Encontre a equação da reta tangente à parábola
, que tenha inclinação
?
Verifique que a reta tangente ao gráfico da função
, no ponto de abscissa
, intercepta o eixo
no ponto
.