Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de , no ponto cuja abscissa é indicada.
a)

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a determinar a inclinação das retas tangente e normal em um determinado ponto de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto no gráfico da função quando . Substituindo na função:
Para resolver , lembramos que . Então,
Portanto, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente no ponto .
A derivada de é . Aplicando isso aqui:

Passo 4

Agora, calculamos a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação da tangente e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Portanto, a equação da reta tangente é .

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Se a inclinação da tangente é , a inclinação da normal é o negativo do inverso:

Passo 7

Usando a mesma fórmula da reta com a inclinação da normal:
Portanto, a equação da reta normal é .

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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c)
Encontre a equação da reta tangente à parábola , que tenha inclinação ?
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