Encontre a equação da reta tangente à parábola , que tenha inclinação ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente à parábola que tem inclinação . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação de retas tangentes a curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto dessa função. No caso da parábola , vamos calcular a derivada para encontrar a inclinação em função de .
A derivada de é:
Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto é .

Passo 3

Sabemos que a inclinação da reta tangente que queremos é . Então, vamos igualar a derivada a esse valor para encontrar o valor de onde a reta tangente tem essa inclinação:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora que temos o valor de , vamos encontrar o ponto correspondente na parábola. Substituímos na equação original :
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 5

Com o ponto e a inclinação , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para a forma :

Resposta

A equação da reta tangente é .

Exercícios relacionados

Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de , no ponto cuja abscissa é indicada.
a)
Suponha que seja uma função derivável em , satisfazendo . Se , determine e .
Verifique que a reta tangente ao gráfico da função , no ponto de abscissa , intercepta o eixo no ponto .
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
c)