Suponha que
seja uma função derivável em
, satisfazendo
. Se
, determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta tá pedindo. A gente tem uma função
que é derivável em todos os números reais. Ela segue uma regra específica:
Além disso, sabemos que:
Com essas informações, precisamos descobrir dois valores:
e a derivada da função
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e manipulação de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a regra que a função
segue. A equação:
parece um pouco com a famosa equação de Cauchy, mas tem um termo extra
. Isso indica que nossa função tem uma parte linear e uma parte quadrática.
Vamos tentar assumir que
é da forma:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Vamos substituir
e
na equação original usando nossa suposição:
Expandindo o lado esquerdo:
E o lado direito já está expandido:
Comparando os dois lados, temos que os coeficientes dos termos devem ser iguais. Então:
- Para
: ⇒ - Os demais termos já vão se igualando naturalmente.
Passo 4
Agora que já encontramos
, vamos usar a informação do limite para encontrar
.
Sabemos que:
Substituindo nossa forma de
:
Então:
Passo 5
Com
e
, nossa função fica:
Agora, vamos encontrar
:
Passo 6
Por último, vamos calcular a derivada
:
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre a derivada da cada função dada, usando a definição.
c)
c)
Considere
definida por
.
a) Calcule .
a) Calcule
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
, no ponto cuja abscissa é indicada.
a)
a)
Encontre a equação da reta tangente à parábola
, que tenha inclinação
?