Suponha que f seja uma função derivável em R, satisfazendo f(a+b)=f(a)+f(b)+5 a b, forall a, b in R. Se lim h 0 f(h)h=3, determine f(0) e f^prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta tá pedindo. A gente tem uma função f(a + b) = f(a) + f(b) + 5ab para todo a, b in R que é derivável em todos os números reais. Ela segue uma regra específica:
limh to 0 f(h)h = 3
Além disso, sabemos que:
Com essas informações, precisamos descobrir dois valores: e a derivada da função . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e manipulação de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a regra que a função f(a + b) = f(a) + f(b) + 5ab segue. A equação:
f(x) = kx + mx^2
parece um pouco com a famosa equação de Cauchy, mas tem um termo extra . Isso indica que nossa função tem uma parte linear e uma parte quadrática.
Vamos tentar assumir que é da forma:
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Vamos substituir f(a + b) = k(a + b) + m(a + b)^2 e f(a) + f(b) + 5ab = (ka + ma^2) + (kb + mb^2) + 5ab na equação original usando nossa suposição:
k(a + b) + m(a^2 + 2ab + b^2) = ka + kb + ma^2 + 2mab + mb^2
ka + kb + ma^2 + mb^2 + 5ab
Expandindo o lado esquerdo:
E o lado direito já está expandido:
Comparando os dois lados, temos que os coeficientes dos termos devem ser iguais. Então:
  • Para :
  • Os demais termos já vão se igualando naturalmente.

Passo 4

Agora que já encontramos limh to 0 f(h)h = 3 , vamos usar a informação do limite para encontrar limh to 0 kh + mh^2h = limh to 0 (k + mh) = k .
Sabemos que:
k = 3
Substituindo nossa forma de :
Então:

Passo 5

Com f(x) = 3x + 52x^2 e f(0) = 3(0) + 52(0)^2 = 0 , nossa função fica:
Agora, vamos encontrar :

Passo 6

Por último, vamos calcular a derivada f(x) = 3x + 52x^2 :
f'(x) = ddx (3x) + ddx (52x^2) = 3 + 5x

Resposta

e .

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