Suponha que seja uma função derivável em , satisfazendo . Se , determine e .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta tá pedindo. A gente tem uma função que é derivável em todos os números reais. Ela segue uma regra específica:
Além disso, sabemos que:
Com essas informações, precisamos descobrir dois valores: e a derivada da função . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e manipulação de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a regra que a função segue. A equação:
parece um pouco com a famosa equação de Cauchy, mas tem um termo extra . Isso indica que nossa função tem uma parte linear e uma parte quadrática.
Vamos tentar assumir que é da forma:
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Vamos substituir e na equação original usando nossa suposição:
Expandindo o lado esquerdo:
E o lado direito já está expandido:
Comparando os dois lados, temos que os coeficientes dos termos devem ser iguais. Então:
  • Para :
  • Os demais termos já vão se igualando naturalmente.

Passo 4

Agora que já encontramos , vamos usar a informação do limite para encontrar .
Sabemos que:
Substituindo nossa forma de :
Então:

Passo 5

Com e , nossa função fica:
Agora, vamos encontrar :

Passo 6

Por último, vamos calcular a derivada :

Resposta

e .

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Encontre a derivada da cada função dada, usando a definição.
c)
Considere definida por .
a) Calcule .
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de , no ponto cuja abscissa é indicada.
a)
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