Verifique que a reta tangente ao gráfico da função , no ponto de abscissa , intercepta o eixo no ponto .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo! Temos a função e precisamos verificar que a reta tangente ao gráfico dessa função no ponto onde a abscissa é intercepta o eixo no ponto . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de derivadas para encontrar a equação da reta tangente e descobrir onde ela cruza o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Usamos a regra de potência para derivar:

Passo 3

Agora que temos a derivada, podemos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto de abscissa . Substituímos por na derivada:
Aqui, representa a inclinação da reta tangente no ponto .

Passo 4

Em seguida, precisamos da equação da reta tangente. Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto . Calculamos :
Agora, usamos a fórmula da equação da reta tangente:
Substituindo e :

Passo 5

Vamos simplificar a equação para facilitar a identificação do ponto onde a reta intercepta o eixo (onde ):

Passo 6

Para encontrar o ponto de interseção com o eixo , definimos e resolvemos para :

Resposta

Portanto, a reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa intercepta o eixo no ponto .

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a)
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c)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
h)