Encontre os pontos sobre a curva
onde a reta tangente é horizontal. A reta passando pelo ponto
perpendicular à reta tangente ao gráfico de
em
é chamada de reta normal ao gráfico de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os pontos na curva
onde a reta tangente é horizontal. Isso envolve o conteúdo de derivadas na matemática, que nos ajuda a encontrar a inclinação das curvas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, igualar a zero (já que a inclinação horizontal é zero) e achar os valores de
que satisfazem essa condição. Depois, vamos encontrar os valores de
correspondentes a esses
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A função é:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora que temos a derivada, queremos saber onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja, a derivada será igual a zero.
Então, vamos igualar a derivada a zero:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Primeiro, simplificamos a equação:
Passo 5
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os valores de
correspondentes substituindo
na função original.
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal são:
Exercícios relacionados
Calcule
.
Calcule
.
Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto de seu domínio
e esboce esse conjunto no plano cartesiano:
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada em
.
e