Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada em . e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de , ou seja, . Isso nos dá a coordenada do ponto onde vamos desenhar a reta tangente e a normal.
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função , que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
Em seguida, calculamos :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Então, a inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Como a inclinação da tangente é , a inclinação da normal será:

Passo 6

Usando a mesma fórmula da reta na forma ponto-inclinação para a reta normal:
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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