Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada em
.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto onde
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
, ou seja,
. Isso nos dá a coordenada
do ponto onde vamos desenhar a reta tangente e a normal.
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função
, que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
Em seguida, calculamos
:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Então, a inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Como a inclinação da tangente é
, a inclinação da normal será:
Passo 6
Usando a mesma fórmula da reta na forma ponto-inclinação para a reta normal:
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é
.
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.
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