Verifique se as funções abaixo são contínuas ou descontínuas em seu domínios:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis,
, que é definida de um jeito diferente no ponto
. Nosso objetivo é verificar se essa função é contínua em todo o seu domínio. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade em funções de várias variáveis e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os pontos onde
. Nesses pontos, a função é dada por:
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador são combinações de funções contínuas (como multiplicação e valor absoluto). Desde que o denominador
não seja zero, a função será contínua. E como
só ocorre quando
e
, sabemos que, fora desse ponto, a função é contínua.
Passo 3
Agora, vamos focar no ponto
, onde a função é definida como
. Para verificar a continuidade nesse ponto, precisamos calcular o limite de
quando
tende a
e ver se esse limite é igual a
.
Vamos calcular:
Podemos usar caminhos diferentes para se aproximar de
. Por exemplo, se
, a expressão fica:
Quando
, esse limite tende a 0.
Se escolhermos
ou
, a expressão também tende a 0. Como o limite é 0 por todos os caminhos que testamos, concluímos que:
Mas lembre-se que
, que é diferente do limite que encontramos.
Passo 4
Como o limite de
quando
se aproxima de
é 0, mas
, isso significa que a função não é contínua nesse ponto. Em todos os outros pontos, já vimos que a função é contínua.
Resposta
A função
é contínua em todo o seu domínio, exceto no ponto
, onde ela é descontínua.
Exercícios relacionados
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada em
.
e
Verifique se as funções abaixo são contínuas ou descontínuas em seu domínios:
Calcule a
derivada das funções seguintes:
Verifique se as funções abaixo são contínuas ou descontínuas em seu domínios: