Verifique se as funções abaixo são contínuas ou descontínuas em seu domínios:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, , que é definida de um jeito diferente no ponto . Nosso objetivo é verificar se essa função é contínua em todo o seu domínio. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade em funções de várias variáveis e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os pontos onde . Nesses pontos, a função é dada por:
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador são combinações de funções contínuas (como multiplicação e valor absoluto). Desde que o denominador não seja zero, a função será contínua. E como só ocorre quando e , sabemos que, fora desse ponto, a função é contínua.

Passo 3

Agora, vamos focar no ponto , onde a função é definida como . Para verificar a continuidade nesse ponto, precisamos calcular o limite de quando tende a e ver se esse limite é igual a .
Vamos calcular:
Podemos usar caminhos diferentes para se aproximar de . Por exemplo, se , a expressão fica:
Quando , esse limite tende a 0.
Se escolhermos ou , a expressão também tende a 0. Como o limite é 0 por todos os caminhos que testamos, concluímos que:
Mas lembre-se que , que é diferente do limite que encontramos.

Passo 4

Como o limite de quando se aproxima de é 0, mas , isso significa que a função não é contínua nesse ponto. Em todos os outros pontos, já vimos que a função é contínua.

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio, exceto no ponto , onde ela é descontínua.

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