Verifique se as funções abaixo são contínuas ou descontínuas em seu domínios:
Passo 1
Vamos analisar a função
dada por:
O objetivo é verificar se essa função é contínua em todo o seu domínio. Para isso, vamos precisar entender o que significa continuidade em várias variáveis e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, observamos que a função está definida de duas formas: uma para todos os pontos diferentes de
e outra especificamente em
. A continuidade em todos os pontos diferentes de
é garantida porque o denominador
nunca é zero nesses pontos.
Passo 3
O ponto crítico é
. Precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Passo 4
Vamos calcular o limite de
quando
:
Passo 5
Para facilitar, podemos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim,
e o limite se torna:
Passo 6
Como
tende a 0 quando
e
é limitado, o limite total é 0:
Passo 7
Como o limite de
quando
é igual ao valor da função nesse ponto, a função é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todo o seu domínio.
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Calcule
.
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada em
.
e
Verifique se as funções abaixo são contínuas ou descontínuas em seu domínios: