Verifique se as funções abaixo são contínuas ou descontínuas em seu domínios:
f(x, y)=cccx^4-y^4x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Vamos analisar a função f(x, y) = x^4 - y^4x^2 + y^2 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0) dada por:
O objetivo é verificar se essa função é contínua em todo o seu domínio. Para isso, vamos precisar entender o que significa continuidade em várias variáveis e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função está definida de duas formas: uma para todos os pontos diferentes de e outra especificamente em . A continuidade em todos os pontos diferentes de é garantida porque o denominador nunca é zero nesses pontos.

Passo 3

O ponto crítico é . Precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

Passo 4

Vamos calcular o limite de lim(x, y) to (0,0) x^4 - y^4x^2 + y^2 quando :

Passo 5

Para facilitar, podemos usar coordenadas polares, onde limr to 0 (rcostheta)^4 - (rsintheta)^4r^2 = limr to 0 r^4(cos^4theta - sin^4theta)r^2 = limr to 0 r^2(cos^4theta - sin^4theta) e . Assim, e o limite se torna:

Passo 6

Como lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0 tende a 0 quando e é limitado, o limite total é 0:

Passo 7

Como o limite de quando é igual ao valor da função nesse ponto, a função é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio.

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