Determine as equações das retas tangentes e da normais às curvas, no pontos de abcissas dadas: f(x) = e^(-1/x) ; x = 1 ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as equações das retas tangentes e normais a essa curva no ponto onde . Para isso, vamos usar derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e, depois, usar essa inclinação para determinar as equações das retas.

Passo 2

Vamos começar encontrando o valor de para obter as coordenadas do ponto de tangência. Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . A derivada de usando a regra da cadeia é:

Passo 4

Substituindo na derivada para encontrar a inclinação no ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , usamos a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 6

Simplificando a equação da reta tangente:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente:

Passo 8

Com a inclinação e o ponto , usamos novamente a fórmula da equação da reta:

Passo 9

Simplificando a equação da reta normal:

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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