Determine as equações das retas tangentes e da normais às curvas, no pontos de abcissas dadas:
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar as equações das retas tangentes e normais a essa curva no ponto onde
. Para isso, vamos usar derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e, depois, usar essa inclinação para determinar as equações das retas.
Passo 2
Vamos começar encontrando o valor de
para obter as coordenadas do ponto de tangência. Substituindo
na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
. A derivada de
usando a regra da cadeia é:
Passo 4
Substituindo
na derivada para encontrar a inclinação no ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto
, usamos a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 6
Simplificando a equação da reta tangente:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação
é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Passo 8
Com a inclinação
e o ponto
, usamos novamente a fórmula da equação da reta:
Passo 9
Simplificando a equação da reta normal:
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.