Resolva o problema de valor inicial.
(a) y'(t) - 2t * y(t) = 2t, y(0) = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que você mandou. A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem bem legal: com a condição inicial . Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é super útil para equações lineares desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é . No nosso caso, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( ). Esse fator é calculado usando a fórmula:
Substituindo , temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto , ou seja:

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
Do lado esquerdo, a integral é simplesmente . Do lado direito, reconhecemos que a integral de é (porque a derivada de dá exatamente ).

Passo 6

Após integrar, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos resolver para :

Passo 8

Usamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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