Resolva o problema de valor inicial.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que você mandou. A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem bem legal:
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é super útil para equações lineares desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é
. No nosso caso, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (
). Esse fator é calculado usando a fórmula:
Substituindo
, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
, ou seja:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral é simplesmente
. Do lado direito, reconhecemos que a integral de
é
(porque a derivada de
dá exatamente
).
Passo 6
Após integrar, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Passo 8
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: