integral0^1 integral0^2(9-x^2-y^2) d y d x 28. integral0^3 integral1^4(7-x-y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral dupla integral0^3 integral1^4 (7 - x - y) , dx , dy. Isso significa que vamos integrar a função 7 - x - y primeiro em relação a x, de 1 a 4, e depois em relação a y, de 0 a 3. Para resolver isso, precisamos saber como calcular integrais duplas em regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é integral1^4 (7 - x - y) , dx. Aqui, y é tratado como constante porque estamos integrando em relação a x.

Passo 3

Vamos integrar termo a termo:
integral (7 - x - y) , dx = integral 7 , dx - integral x , dx - integral y , dx
= 7x - x^22 - yx + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de x = 1 e x = 4:
[7(4) - 4^22 - y(4)] - [7(1) - 1^22 - y(1)]
= (28 - 8 - 4y) - (7 - 0.5 - y)
= (20 - 4y) - (6.5 - y)
= 13.5 - 3y

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a y:
integral0^3 (13.5 - 3y) , dy

Passo 6

Integrando termo a termo:
integral 13.5 , dy - integral 3y , dy = 13.5y - 3y^22

Passo 7

Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de y = 0 e y = 3:
[13.5(3) - 3(3)^22] - [13.5(0) - 3(0)^22]
= (40.5 - 13.5) - (0 - 0)
= 27

Resposta

O valor da integral é 27.

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