Find all values of the constant
so that
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar todos os valores da constante
que tornam verdadeira a seguinte igualdade envolvendo uma integral dupla:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que são usadas para calcular o volume sob uma superfície em um intervalo específico. Para resolver isso, vamos precisar calcular a integral dupla da função
sobre os limites dados e depois igualar o resultado a
para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. A integral interna é:
Para integrar isso em
, tratamos
como uma constante. A integral de
em relação a
é
e a integral de
em relação a
é
. Então temos:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de
e
:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 4
Agora que temos a integral interna, vamos integrar essa expressão em relação a
no intervalo de
a
:
A integral de
em relação a
é
e a integral de
em relação a
é
. Então temos:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a igualdade são
e
.