Find all values of the constant c so that
integral-1^c integral0^2(x y+1) d y d x=4+4 c

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar todos os valores da constante integral-1^c integral0^2(x y+1) , dy , dx = 4 + 4c que tornam verdadeira a seguinte igualdade envolvendo uma integral dupla:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que são usadas para calcular o volume sob uma superfície em um intervalo específico. Para resolver isso, vamos precisar calcular a integral dupla da função sobre os limites dados e depois igualar o resultado a para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^2 (x y + 1) , dy . A integral interna é:
integral0^2 (x y + 1) , dy = [ 12x y^2 + y ]0^2
Para integrar isso em , tratamos como uma constante. A integral de em relação a é e a integral de em relação a é . Então temos:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de [ 12x (2)^2 + 2 ] - [ 12x (0)^2 + 0 ] = [ 2x + 2 ] - [ 0 + 0 ] = 2x + 2 e :
Então, a integral interna resulta em .

Passo 4

Agora que temos a integral interna, vamos integrar essa expressão em relação a integral-1^c (2x + 2) , dx no intervalo de [ x^2 + 2x ]-1^c = ( c^2 + 2c ) - ( (-1)^2 + 2(-1) ) = c^2 + 2c - (1 - 2) = c^2 + 2c + 1 a :
A integral de em relação a é e a integral de em relação a é . Então temos:

Resposta

Os valores de que satisfazem a igualdade são e .

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