Determine se as equações são exatas e, em caso afirmativo, encontre uma solução. cosh(x) sen(y) dy = senh(x) cos(y) dx

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial dada é exata. Se for, a gente também precisa encontrar uma solução para ela. A matéria que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais, especificamente sobre equações diferenciais exatas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar uma função que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. A equação que temos é:
Vamos trazer todos os termos para um lado para termos algo como . Assim:
Agora, identificamos e :

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Em outras palavras, devemos verificar se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Calculando :
Calculando :

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
Vemos que:
Isso significa que a equação diferencial é exata.

Passo 6

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a solução. Para isso, precisamos encontrar uma função tal que:
Vamos começar integrando em relação a :
A integral de em relação a é , então:

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:
Integrando, encontramos:
onde é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real.

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