Determine se as equações são exatas e, em caso afirmativo, encontre uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial dada é exata. Se for, a gente também precisa encontrar uma solução para ela. A matéria que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais, especificamente sobre equações diferenciais exatas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar uma função que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. A equação que temos é:
Vamos trazer todos os termos para um lado para termos algo como
. Assim:
Agora, identificamos
e
:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Em outras palavras, devemos verificar se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Comparando as duas derivadas:
Vemos que:
Isso significa que a equação diferencial é exata.
Passo 6
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a solução. Para isso, precisamos encontrar uma função
tal que:
Vamos começar integrando
em relação a
:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Integrando, encontramos:
onde
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real.
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Um tanque para armazenamento de gás propano é construído soldando dois hemisférios nas extremidades de um cilindro circular reto. Escreva o volume do tanque como uma função de
e
, onde
é o raio do cilindro e os hemisférios, e
é a largura do cilindro.
Encontre o valor de
para o qual a equação dada é exata e, então, resolva-a usando este valor de
.