Determine se as equações são exatas e, em caso afirmativo, encontre uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se uma equação diferencial é exata e, se for o caso, encontrar uma solução. Isso envolve entender o que são equações diferenciais exatas e como checar se uma equação dada se encaixa nessa categoria. Vamos precisar usar derivadas parciais e um pouquinho de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação que correspondem a
e
na forma geral
.
Na equação dada:
Podemos reescrever isso como:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Comparando as duas derivadas:
Como
, a equação é exata.
Passo 5
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Substituindo
:
Isso simplifica para:
Integrando, encontramos
, onde
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
ou, reorganizando: