Determine se as equações são exatas e, em caso afirmativo, encontre uma solução. x^-1 cos(2y) dx = 2 ln(x) sen(2y) dy

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se uma equação diferencial é exata e, se for o caso, encontrar uma solução. Isso envolve entender o que são equações diferenciais exatas e como checar se uma equação dada se encaixa nessa categoria. Vamos precisar usar derivadas parciais e um pouquinho de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação que correspondem a e na forma geral .
Na equação dada:
Podemos reescrever isso como:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Comparando as duas derivadas:
Como , a equação é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função de que surge da integração.

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a para encontrar :
Substituindo :
Isso simplifica para:
Integrando, encontramos , onde é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
ou, reorganizando:

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