Encontre o valor de
para o qual a equação dada é exata e, então, resolva-a usando este valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma equação diferencial:
O nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz essa equação ser exata. Depois disso, vamos resolver a equação usando esse valor de
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma equação ser exata e como resolver esse tipo de equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre equações diferenciais exatas. Uma equação diferencial na forma:
é exata se existir uma função
tal que:
Para verificar a exatidão, usamos a condição:
Se essa igualdade for verdadeira, a equação é exata. Vamos aplicar isso ao nosso problema.
Passo 3
Identificamos
e
na equação dada:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Para que a equação seja exata, precisamos que:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(desde que não seja zero):
Então, o valor de
que torna a equação exata é
.
Passo 5
Agora que sabemos que
, a equação exata fica:
Vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Agora, calculamos
e igualamos a
:
Igualando a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 6
Portanto, a função potencial é:
Para resolver a equação, colocamos
:
Podemos multiplicar tudo por 2 para simplificar:
Como
é uma constante, podemos renomeá-la simplesmente como
:
Resposta
O valor de
que torna a equação exata é
. A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Um tanque para armazenamento de gás propano é construído soldando dois hemisférios nas extremidades de um cilindro circular reto. Escreva o volume do tanque como uma função de
e
, onde
é o raio do cilindro e os hemisférios, e
é a largura do cilindro.
Determine se as equações são exatas e, em caso afirmativo, encontre uma solução.
Resolver os problemas de valor inicial.
(2,0 ponto) - Um item da 7
7. Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(b) , onde
é o sólido limitado pelas superfícies
.
7. Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(b)