Encontre o valor de
para o qual a equação dada é exata e, então, resolva-a usando este valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma equação diferencial:
O nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz essa equação ser exata. Depois disso, vamos resolver a equação usando esse valor de
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma equação ser exata e como resolver esse tipo de equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre equações diferenciais exatas. Uma equação diferencial na forma:
é exata se existir uma função
tal que:
Para verificar a exatidão, usamos a condição:
Se essa igualdade for verdadeira, a equação é exata. Vamos aplicar isso ao nosso problema.
Passo 3
Identificamos
e
na equação dada:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Para que a equação seja exata, precisamos que:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(desde que não seja zero):
Então, o valor de
que torna a equação exata é
.
Passo 5
Agora que sabemos que
, a equação exata fica:
Vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Agora, calculamos
e igualamos a
:
Igualando a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 6
Portanto, a função potencial é:
Para resolver a equação, colocamos
:
Podemos multiplicar tudo por 2 para simplificar:
Como
é uma constante, podemos renomeá-la simplesmente como
:
Resposta
O valor de
que torna a equação exata é
. A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.