Encontre o valor de k para o qual a equação dada é exata e, então, resolva-a usando este valor de k. (y e^(2xy) + x) dx + kx e^(2xy) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma equação diferencial:
O nosso objetivo é encontrar o valor de que faz essa equação ser exata. Depois disso, vamos resolver a equação usando esse valor de . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma equação ser exata e como resolver esse tipo de equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre equações diferenciais exatas. Uma equação diferencial na forma:
é exata se existir uma função tal que:
Para verificar a exatidão, usamos a condição:
Se essa igualdade for verdadeira, a equação é exata. Vamos aplicar isso ao nosso problema.

Passo 3

Identificamos e na equação dada:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Para que a equação seja exata, precisamos que:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (desde que não seja zero):
Então, o valor de que torna a equação exata é .

Passo 5

Agora que sabemos que , a equação exata fica:
Vamos encontrar a função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Agora, calculamos e igualamos a :
Igualando a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
Para resolver a equação, colocamos :
Podemos multiplicar tudo por 2 para simplificar:
Como é uma constante, podemos renomeá-la simplesmente como :

Resposta

O valor de que torna a equação exata é . A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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