Um tanque para armazenamento de gás propano é construído soldando dois hemisférios nas extremidades de um cilindro circular reto. Escreva o volume do tanque como uma função de r e l, onde r é o raio do cilindro e os hemisférios, e l é a largura do cilindro.

Passo 1

Então, a gente tem um tanque pra guardar gás propano que é feito juntando dois hemisférios nas pontas de um cilindro reto. A matéria que vamos usar aqui é Geometria, especificamente o cálculo de volumes de sólidos. Pra resolver isso, a gente vai precisar das fórmulas do volume do cilindro e do volume de uma esfera (já que os hemisférios são metade de uma esfera).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do cilindro. A fórmula do volume do cilindro é:
onde é o raio do cilindro e é a largura (altura) do cilindro.

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume de uma esfera inteira, que é:
Como o tanque tem dois hemisférios, que juntos formam uma esfera inteira, o volume total dos hemisférios será igual ao volume de uma esfera:
é

Passo 4

Agora, para encontrar o volume total do tanque, a gente soma o volume do cilindro com o volume dos dois hemisférios:
é
Substituindo as fórmulas que a gente tem:

Resposta

O volume do tanque como função de e é:

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Determine se as equações são exatas e, em caso afirmativo, encontre uma solução. cosh(x) sen(y) dy = senh(x) cos(y) dx
Determine se as equações são exatas e, em caso afirmativo, encontre uma solução. x^-1 cos(2y) dx = 2 ln(x) sen(2y) dy
Encontre o valor de k para o qual a equação dada é exata e, então, resolva-a usando este valor de k. (y e^(2xy) + x) dx + kx e^(2xy) dy = 0
Resolver os problemas de valor inicial. 3 x^2 y^4 dx + 4 x^3 y^3 dy = 0, y(1) = 2