Determine se as equações são exatas e, em caso afirmativo, encontre uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para a gente verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma solução. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar a solução se ela for exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Ela está na forma:
Onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se essas derivadas forem iguais, a equação é exata.
Vamos calcular:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, para encontrar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Simplificando:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 6
Então, a função
fica:
Como queremos a solução geral, podemos escrever:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante.
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Explique por que é sempre possível sar qualquer equação diferencial homogênea
na forma
Você pode começar provando que
Determine se as equações são exatas e, em caso afirmativo, encontre uma solução.
Determine se as equações são exatas e, em caso afirmativo, encontre uma solução.
Determine se as equações são exatas e, em caso afirmativo, encontre uma solução.