Determine se as equações são exatas e, em caso afirmativo, encontre uma solução. 2 x ln(y) dx + y^{-1} x^{2} dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para a gente verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma solução. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar a solução se ela for exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Ela está na forma:
Onde:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Se essas derivadas forem iguais, a equação é exata.
Vamos calcular:
Como , a equação é exata!

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, para encontrar , vamos derivar em relação a e igualar a :
Simplificando:
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 6

Então, a função fica:
Como queremos a solução geral, podemos escrever:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante.

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