Determine se as equações são exatas e, em caso afirmativo, encontre uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para a gente verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma solução. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar a solução se ela for exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Ela está na forma:
Onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se essas derivadas forem iguais, a equação é exata.
Vamos calcular:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, para encontrar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Simplificando:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 6
Então, a função
fica:
Como queremos a solução geral, podemos escrever:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante.