Explique por que é sempre possível sar qualquer equação diferencial homogênea M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 na forma dy/dx = F(y/x) Você pode começar provando que M(x, y) = x^α M(1, y/x) e N(x, y) = x^a N(

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial homogênea na forma e precisa mostrar que sempre dá pra reescrever essa equação como . Isso envolve conceitos de equações diferenciais homogêneas e mudanças de variável. Vamos precisar entender como funções homogêneas funcionam e como aplicar uma substituição para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função homogênea. Uma função é homogênea de grau se, ao multiplicar e por um escalar , a função fica assim: . O mesmo vale para .

Passo 3

Vamos provar que e .
Para isso, fazemos uma mudança de variável onde . Então, podemos reescrever e em termos de :
Isso porque substituindo na função homogênea, fatoramos a potência de .

Passo 4

Agora, vamos substituir esses resultados na equação diferencial original:
Podemos dividir toda a equação por (assumindo ):

Passo 5

Lembre que . Vamos expressar em termos de :
Substituindo na equação:

Passo 6

Distribuindo :
Agrupando os termos com :

Passo 7

Isolando :
Dividindo ambos os lados por :
Mas como queremos uma expressão em termos de , reorganizamos para obter:
Onde .

Resposta

Assim, mostramos que qualquer equação diferencial homogênea pode ser reescrita na forma usando a substituição e propriedades de funções homogêneas.

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