Explique por que é sempre possível sar qualquer equação diferencial homogênea
na forma
Você pode começar provando que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial homogênea na forma
e precisa mostrar que sempre dá pra reescrever essa equação como
. Isso envolve conceitos de equações diferenciais homogêneas e mudanças de variável. Vamos precisar entender como funções homogêneas funcionam e como aplicar uma substituição para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função homogênea. Uma função
é homogênea de grau
se, ao multiplicar
e
por um escalar
, a função fica assim:
. O mesmo vale para
.
Passo 3
Vamos provar que
e
.
Para isso, fazemos uma mudança de variável onde
. Então, podemos reescrever
e
em termos de
:
Isso porque substituindo
na função homogênea, fatoramos a potência de
.
Passo 4
Agora, vamos substituir esses resultados na equação diferencial original:
Podemos dividir toda a equação por
(assumindo
):
Passo 5
Lembre que
. Vamos expressar
em termos de
:
Substituindo
na equação:
Passo 6
Distribuindo
:
Agrupando os termos com
:
Passo 7
Isolando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Mas como queremos uma expressão em termos de
, reorganizamos para obter:
Onde
.
Resposta
Assim, mostramos que qualquer equação diferencial homogênea
pode ser reescrita na forma
usando a substituição
e propriedades de funções homogêneas.
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