Determine se as equações são exatas e, em caso afirmativo, encontre uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial dada por
. Nosso objetivo é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar uma solução para ela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como identificar se a nossa equação se encaixa nessa categoria.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para deixar claro os termos de
e
:
Aqui, identificamos que
é o coeficiente de
e
é o coeficiente de
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se satisfizer a condição:
Ou seja, a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial de
em relação a
.
Vamos calcular essas derivadas:
Como
, a condição de exatidão não é satisfeita. Portanto, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, podemos tentar encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Um fator integrante é uma função
que, quando multiplicada pela equação original, a torna exata.
Para simplificar, vamos tentar um fator integrante que seja função apenas de
. Ou seja,
.
Multiplicando a equação original por
:
Agora, aplicamos a condição de exatidão novamente:
Calculando as derivadas:
Para que isso seja válido para todo
, temos que
.
Resolvendo essa equação diferencial para
:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher
para simplificar, então
.
Passo 5
Agora que encontramos o fator integrante
, vamos multiplicar a equação original por ele:
Simplificando:
Agora, verificamos novamente a condição de exatidão:
Calculando as derivadas parciais:
A condição de exatidão ainda não está satisfeita, indicando que precisamos ajustar nosso fator integrante ou tentar outra abordagem. Para simplificar, vamos reconsiderar e aplicar uma abordagem direta para resolver a equação exata resultante.
Passo 6
Como a equação após a multiplicação pelo fator integrante tornou-se:
Podemos reescrever isso na forma diferencial de uma função
:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Resolvendo para
:
Isso sugere que nossa abordagem precisa ser revisada, já que
não pode depender de
. Portanto, percebemos que houve um erro na aplicação do fator integrante, indicando que talvez precisemos de um fator diferente ou reconsiderar a exatidão inicial.
Após reconsiderar, concluímos que a equação original não é exata e que a tentativa de encontrar um fator integrante simples não resolveu o problema de exatidão.
Resposta
A equação diferencial
não é exata, e mesmo após tentar aplicar um fator integrante simples, não conseguimos encontrar uma solução exata para ela.