Determine se as equações são exatas e, em caso afirmativo, encontre uma solução. x dy + 3y^2 dx = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial dada por . Nosso objetivo é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar uma solução para ela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como identificar se a nossa equação se encaixa nessa categoria.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para deixar claro os termos de e :
Aqui, identificamos que é o coeficiente de e é o coeficiente de .

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial na forma é exata se satisfizer a condição:
Ou seja, a derivada parcial de em relação a deve ser igual à derivada parcial de em relação a .
Vamos calcular essas derivadas:
Como , a condição de exatidão não é satisfeita. Portanto, a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, podemos tentar encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Um fator integrante é uma função que, quando multiplicada pela equação original, a torna exata.
Para simplificar, vamos tentar um fator integrante que seja função apenas de . Ou seja, .
Multiplicando a equação original por :
Agora, aplicamos a condição de exatidão novamente:
Calculando as derivadas:
Para que isso seja válido para todo , temos que .
Resolvendo essa equação diferencial para :
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher para simplificar, então .

Passo 5

Agora que encontramos o fator integrante , vamos multiplicar a equação original por ele:
Simplificando:
Agora, verificamos novamente a condição de exatidão:
Calculando as derivadas parciais:
A condição de exatidão ainda não está satisfeita, indicando que precisamos ajustar nosso fator integrante ou tentar outra abordagem. Para simplificar, vamos reconsiderar e aplicar uma abordagem direta para resolver a equação exata resultante.

Passo 6

Como a equação após a multiplicação pelo fator integrante tornou-se:
Podemos reescrever isso na forma diferencial de uma função :
Para encontrar , integramos em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Resolvendo para :
Isso sugere que nossa abordagem precisa ser revisada, já que não pode depender de . Portanto, percebemos que houve um erro na aplicação do fator integrante, indicando que talvez precisemos de um fator diferente ou reconsiderar a exatidão inicial.
Após reconsiderar, concluímos que a equação original não é exata e que a tentativa de encontrar um fator integrante simples não resolveu o problema de exatidão.

Resposta

A equação diferencial não é exata, e mesmo após tentar aplicar um fator integrante simples, não conseguimos encontrar uma solução exata para ela.

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