Seja , .
A dimensão da imagem de é:
(A) 0
(B) 1
© 4
(D) 2
(E) 3
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação linear que pega um vetor de 4 componentes e retorna um vetor de 3 componentes. A pergunta é: qual é a dimensão da imagem dessa transformação? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes, transformação linear e o conceito de posto de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz associada à transformação . Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes de e nas expressões de . Assim, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar a dimensão da imagem de , precisamos determinar o posto (ou rank) da matriz . O posto é o número máximo de colunas linearmente independentes na matriz. Para isso, vamos fazer operações elementares para reduzir a uma forma mais simples (forma escalonada) e contar quantas linhas não nulas restam.

Passo 4

Vamos começar eliminando o elemento abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha e primeira coluna). Subtraímos a primeira linha da segunda e adicionamos a primeira linha à terceira:
Primeira operação:
Segunda operação:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do segundo pivô (que é 1 na segunda linha e segunda coluna). Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:

Passo 6

Agora, a matriz está em forma escalonada, e podemos ver que há 3 pivôs (um em cada linha). Isso significa que as três primeiras colunas são linearmente independentes.

Resposta

A dimensão da imagem de é 3.

Exercícios relacionados

Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto , e tem direção do vetor .
Suponha tal que
.
Assinale a afirmação verdadeira:
(A) Pode-se afirmar que tem solução única para qualquer .
(B) Não existe matriz que satisfaça às condições do enunciado.
© Não se pode afirmar se tem solução para qualquer .
(D) Pode-se afirmar que não tem solução para certos valores do vetor e que quando existe solução el a não é única.
(E) Pode-se afirmar que tem solução para qualquer , mas não se pode garantir unicidade.
(F) Pode-se afirmar que não tem solução para certos valores do vetor , mas quando existe solução ela é única.
(G) Não sei
(a) expresse cada vetor coluna de como uma combinação linear dos vetores coluna de .
(b) expresse cada vetor coluna de como uma combinação linear dos vetores coluna de .
Seja a transformação linear que satisfaz: е .
Determine a matriz tal que .
A entrada da matriz vale:
(A) -8
(B) -7
© -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1
(I) Não sei