Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação linear que pega um vetor de 4 componentes e retorna um vetor de 3 componentes. A pergunta é: qual é a dimensão da imagem dessa transformação? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes, transformação linear e o conceito de posto de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz associada à transformação . Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes de e nas expressões de . Assim, temos:
Passo 3
Agora, para encontrar a dimensão da imagem de , precisamos determinar o posto (ou rank) da matriz . O posto é o número máximo de colunas linearmente independentes na matriz. Para isso, vamos fazer operações elementares para reduzir a uma forma mais simples (forma escalonada) e contar quantas linhas não nulas restam.
Passo 4
Vamos começar eliminando o elemento abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha e primeira coluna). Subtraímos a primeira linha da segunda e adicionamos a primeira linha à terceira:
Primeira operação:
Segunda operação:
Passo 5
Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do segundo pivô (que é 1 na segunda linha e segunda coluna). Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Passo 6
Agora, a matriz está em forma escalonada, e podemos ver que há 3 pivôs (um em cada linha). Isso significa que as três primeiras colunas são linearmente independentes.