Seja T(x1, x2, x3, x4)=(x1+x2+x3+x4, x1+2 x2-x3+3 x4, -x1+x2-3 x3+4 x4).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
© 4
(D) 2
(E) 3
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação linear que pega um vetor de 4 componentes e retorna um vetor de 3 componentes. A pergunta é: qual é a dimensão da imagem dessa transformação? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes, transformação linear e o conceito de posto de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz associada à transformação A = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & -1 & 3 -1 & 1 & -3 & 4 . Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes de e nas expressões de . Assim, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar a dimensão da imagem de , precisamos determinar o posto (ou rank) da matriz . O posto é o número máximo de colunas linearmente independentes na matriz. Para isso, vamos fazer operações elementares para reduzir a uma forma mais simples (forma escalonada) e contar quantas linhas não nulas restam.

Passo 4

Vamos começar eliminando o elemento abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha e primeira coluna). Subtraímos a primeira linha da segunda e adicionamos a primeira linha à terceira:
Primeira operação: 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 & 2 -1 & 1 & -3 & 4
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 & 2 0 & 2 & -2 & 5
Segunda operação:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do segundo pivô (que é 1 na segunda linha e segunda coluna). Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 & 2 0 & 0 & 2 & 1

Passo 6

Agora, a matriz está em forma escalonada, e podemos ver que há 3 pivôs (um em cada linha). Isso significa que as três primeiras colunas são linearmente independentes.

Resposta

A dimensão da imagem de é 3.

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